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PO

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La valeur de l’apothème est donnée par l’expression

a = vi r ~ i

Pour démontrer ces expressions, soient BC le côtédu polygone inscrit (PI. 54 , fig. i), EF celui du po-lygone circonscrit, et AB et GH ceux des polygonesinscrit et circonscrit d’un nombre double de côtés.Menons du centre les droites que l’on voit dans la fi-gure, et nous aurons à cause des triangles semblablesIBC,IEF

BC : EF :: ID : TA :: ID : IC

d’où

™ _ IC X BC m —

ce qui est l’expression (i).

Le carré de AB est égal au produit du diamètre ducercle par le segment correspondant (cercle n° 17) AD ;or AD = AI — ID — IC — ID, ainsi

AB == y/[a.IC (IC — ID)]

en substituant dans l’expression (1) la valeur de l’apothème

r 1 _ a r

V r' — fr 2 ~ 1/3'

Mais le périmètre de l’hexagone étant égal à six foissou côté, on a pour la surface de l’hexagone inscrit

~6r.\/r 2 — ~r 2 = \.r 2 .\/ 3

et pour celle de l’hexagone circonscrit, dont l’apothèmeest égale au rayon du cercle

6r 2

ÿ 3

or,

Î-V* : £::3:4.

Donc la surface de l’hexagone inscrit est égale auxtrois quarts de la surface de l’hexagone circonscrit.

16. D’après le théorème du numéro 1 4 » la surfacedu dodécagone inscrit est égale à

c’est l’expression (2).

Enfin, les triangles BDA , IAH sont semblables,parce qu’ils sont tous deux rectangles DBA et AIH sontégaux, ayant chacun pour mesure la moitié de l’arc AC;ainsi on a la proportion

BD : AD :: Al : AH,

d’où

.„ ADXAI (IC—ID).ICAH = BD = -TBC —

ou , à cause de AH = i GII,

„„ 4 IC. (IC—ID)

~ BC ’

c’est l’expression ( 3 ).

Quant à la valeur de l’apothème , on la tire du trian-gle rectangle IBD .

1 4 . Les triangles IMA, IBA , 1 EA, ayant une mêmehauteur AM , sont entre eux comme leurs bases IM,IB , IE; mais IA , qui est égal à IB, est moyenne pro-portionnelle entre IM et IE, donc le triangle IBA estmoyen proportionnel entre les triangles IMA ou IBD et IEA ; or ces triangles IBD , IBA, IEA sont entreeux comme les polygones dont ils font partie, donc lasurface du polygone inscrit et un nombre double décotesest moyenne proportionnelle entre les surfaces des poly-gones inscrit et circonscrit.

1 5 . Le côté de l’hexagone inscrit étant égal au rayonvoy. Hexagone) , celui de l’hexagone circonscrit sera ,

\/ D! r ’V/3 X —] =VV = 3 c ,

c’est-à-dire à trois fois le carré du rayon.

17. Le triangle, le carré, le pentagone et tous les po-lygones qui résultent en doublant successivement lenombre de leurs côtés, ont été jusqu’à ces dernierstemps les seuls accessibles à la géométrie élémentaire ;mais Gauss a fait voir dans ses disquisiliones arithme-ticœ , que cetle géométrie pouvait encore embrasserceux de 17, de 257, de 4°97 côtés, et généralementceux dont le nombre des côtés est un nombre premiercompris sous la forme générale 2" -f- 1 .{Voy. l’ouvragede ce grand géomètre, ou la Théorie des nombres deLegendre.)

Nombres polygones. On désigne généralement sous cenom une suite de nombres formés par l’addition succes-sive des termes d’une progression arithmétique quicommence par l’unité , par exemple :

1 , 5 , 9, i 3 , 17, ai, a 5 , etc.,

étant une telle progression , les sommes consécutivesde un , deux , trois, etc. , termes de cette progression ,ou

1,6, 1 5 , 28, 45 , 66, 91, etc.,

sont des nombres polygones.

Suivant que la différence de la progression arithmé-tique est 1, ou 2, ou 3 , ou 4, on etc. Les nombres poly-gones prennent les noms particuliers de nombres triangulaires, quadrangulaires , pentagones , hexagones, etc-