-» ■» 1su -d.

Pli

PR

Ainsi aucune dus sommes, excepté la dernière, celle de

17 -)- QJ -—, n’étant un carré parfait, 17 est

nombre premier.

On peut simplifier le calcul en ajoutant successive-ment à la première somme les différences des carrés oula suite des nombres impairs.!, 3, 5, 7,g,etc.; on ob-tiendra de cette manière :

*7 +

1

=

l8

.8 +

3

=

2 I

21 4-

5

—

26

26 4-

7

=

33

33 4-

9

=

4»

42 4~

11

=

53

53 4-

i3

=

(i6

GG +

i5

Œ

8 r

Ce qui réduit l’opération à une addition successive.

Proposons-nous de déterminer si 91 est un nombrepremier. Eu opérant comme ci-dessus, nous aurons

91 -f- 1 = 91

9a -)- 3 = g5

g5 —(— 5 = 100 = io 1

Il n’v a pas besoin de poursuivre le calcul, car la troi-sième somme étant un carré parfait, celui de 10, 91, nepeut être un nombre premier.

La dernière égalité qui revient à

dans l’opération précédente, d’essayer les carres desnombres au-dessus de -—I.

'.4

Fermât a laissé plusieurs théorèmes curieux sur lesnombres premiers; voici le principal : si n est un nom-bre premier et x un nombre quelconque non divisiblepar u , la quantité x n ~' — 1 sera divisible par n.

Un autre théorème non moins célèbre est celui deWilson : si n est un nombre premier, le produit 1 .a.3.4-5... ( n —1) augmenté de l'unité, sera divisibleparu. II a été publié parWaring, dans ses Méditationsalgéb. ; mais ni lui ni Wilson n’avaient pu le démon-trer; c’est Lagrange qui en a donné la première dé-monstration. ( Nouv. Mémoires de Berlin , 1771-)

Si les produits de la forme 1.2.3.4.5.G.. . ( n —1)11’augmentaient pas avec une extrême rapidité, à me-sure que le nombre des facteurs augmente, le théo-rème de Wilson offrirait lu. procédé le plus simple etle plus direct pour reconnaître si un nombre est pre-mier ou s’il ne l’est pas, car il suffit d’ajouter une unitéau produit 1.2.3.4*5... (n —1) et de diviser ensuitepar n : lorsque la division peut s’effectuer exactement,n est un nombre premier; dans le cas contraire n estcomposé; mais le produit 1 .2.3.4*5... (n —1) atteintsi promptement une grandeur énorme que ce procédédevient bientôt impraticable. En effet, pour les nom-bres i3 et 17, qui sont de très-petits nombres, il fautdéjà former les produits

91 -{- 9 = 100 , ou 91 3 1 = io 1

peut servir à déterminer les facteurs de 91 , car ou entire

91 = io’ — 3 1 = (io-J-3) (10—3) = i3 X 7.

O11 peut se rendre compte de la propriété sur laquelleest fondée cette méthode, en remarquant que si l’on a

A + B’ = O,

ou doit avoir aussi

A = O — B 1 = (C+B) (C—B).

Ainsi, C et B étant des nombres entiers, C-f-B et C—Bsont aussi des nombres entiers, et A, se trouvant formépar le produit de ces derniers, ne peut être un nombrepremier que dans le cas où C—B=i, ce qui donne

C+B=A et B = ’ ; le carré de -—- 1 est donc le

1 2 2

seul dont la somme avec A puisse être un carré parfait,

lorsque A est un nombre premier

U est visible, en outre, que est P^ us

grand carré qui, ajoute à A, puisse former un carréparfait et, par conséquent, que l’on n’a pas besoin ,

1.2.3.4.5 .G. 7.8.9. t o. 11.12 = 479001G001.2,3.4-5.6.7.8.9.10.11.12... 1G =20922789888000

O11 tire de ce théorème les deux suivans , égalementremarquables :

I. Tout nombre premier n, compris sous la forme4«i-f-1 , divise exactement la quantité

1.2.3.4

I. Tout nombre premier n , de la forme l\in -)- 3 ,divise exactement la quantité

Ainsi n doit diviser exactement l’une ou l’autre desdeux quantités

_ / n — 1

'.2.3.4..1- I

2 1

I.2.3.4...

n — 1

2

Comme on a très souvent besoin de connaître si unnombre est premier, surtout dans la recherche des fac-teurs numériques, la table suivante, qui contient lesnombres premiers depuis 2 jusqu’à 60009, ne peutmanquer d’être utile dans beaucoup de cas.