563

PR

PR

parer la probabilité de l’apparition de l’un quelconquede ces événemens avec chacun des autres en particulierou bien encore avec la probabilité de leur ensemble.C’est de cette manière que l’on trouve que la probabi-lité d’amener deux fois A et deux fois B est à celle d’a-mener trois fois A et une fois B comme 6 est à 4 J etencore, que cette même probabilité est à celle d'uuévénement quelconque, qui ne renferme pas 2 fois A est2 fois B, comme 6 est à io. Si l’on nefaisaiL que deuxclasses d’évéuemens, l’une qui renfermât tous ceux oùse trouvent à la fois les deux événemens simples A etB , et l’autre ceux où ne se trouvent que l’événementA ou l’événement B , ces deux classes opposées auraient

J / ^

pour leurs probabilités respectives et ygj c’est-à-

dire qu’elles seraient entre elles comme i4 est à a, ou,ce qui est la même chose, comme 7 est à 1. On auraitdonc sept fois plus de chances en pariant pour la pre-mière classe que pour la seconde. Il s’agit toujours icide 4 épreuves, car si l’on augmentait le nombre desépreuves , ce rapport augmenterait d’une manière très-rapide. Par exemple pour cinq épreuves le nombreîles événemens composés qui ne renferment que A ouB est toujours 2, tandis que celui de tous les autresdevient 3o; pour six épreuves ce dernier devient 62;pour 7 épreuves 12G, etc. Ainsi la probabilité d’un évé-nement quelconque de la première classe est à la pro-babilité d’un événement quelconque de la seconde

en 4 épreuves comme 7 : 1

5 . 1 5 : x

6 .3i : 1

7 .v.63 : 1

etc. etc.

La seconde classe d’événemens devient donc de moinsen moins probable, et l’on peut, en multipliant suffi-samment le nombre des épreuves, rendre la probabilitéde la première aussi près de la certitude qu’on le voudra.

Nous obtiendrions encore le même résultat en don-nant plus d’extension à la seconde classe d’événemens ;par exemple , en lui faisant embrasser tous les événe-mens composés qui contiennent une seule fois A ou uneseule fois B. Nous aurions donc alors deux classes oppo-sées, dont la première renferme tous les événemensdans lesquels entrent au moins 2 fois A et au moins 2 foisB, et dont la seconde renferme tous ceux dans lesquelsA ou B n entrent qu une seule fois ou n’entrent pas dutout.

Le nombi e des chances respectives de chaque événe-ment compose étant donné par le coefficient du termequi représente cet événement (17) } dans le développe-ment du binôme («-j-*)'“ , nous voyons immédiatementqu’en 4 épreuves ces chances étant

a 4 -f- 4a 3 * -J- 6a 1 * 1 -j- 4a* 3 + * 4

la première classe comprend 6 chances et la seconde 10.Qu’en 5 épreuves les chances devenant

a 5 -f- 5 a 3 * -j- ioa 3 * J -}- ion 1 * 3 -}- 5 a* 4 -f - * 5

la première classe comprend 20 chances etla seconde 12.Qu’eu 6 épreuves les chances devenant

a 6 -f- 6a 5 * -|- 15a 4 * 1 -j- 20a 3 * 3 -J- 15 a 1 * 4 -j- 6a* 5 -f- * 6

la première classe comprend 5 o chàùces et la seconde14, etc.

La probabilité d’un événement quelconque de lapremière classe est donc à la probabilité d’un événe-ment quelconque de la seconde

en 4 épreuves, comme 3 : 5

5 .'5 : 3

6 . 25 : 7

elc. etc.

d’où l’on voit que la probabilité de la première classed’événemens devient de plus en plus grande compara-tivement à celle de la seconde , et qu’en multipliantsuffisamment le nombre des épreuves on peut la ren-dre aussi grande qu’où le voudra;

21. En général, quelque extension que l’on puissedonner à la seconde classe d’événemens, comme lenombre de ses chances est don-né par la somme descocfficiens des premiers et des derniers termes des puis-sances du binôme -, tandis que celui des chancés de lapremière classe est donné par la somme des coefficiensdes termes du milieu ) qu’en outre le nombre des ter-mes de la seconde classe reste toujours le même, tan-dis que celui des termes de la première classe s’accroîtcontinuellement par l’accroissement du nombre desépreuves, il est évident que la probabilité absolue dela première classe pourra toujours devenir aussi grandequ’on pourra le désirer en augmentant le nombre desépreuves.

On ne doit pas perdre de vue que ce que nous nom-mons ici la première classe des événemens composésest formé de la réunion des termes dont la valeur estla plus considérable avant et après le terme du milieu,le plus grand de tous dans les puissances à exposantpair, et avant et après les deux termes égaux du mi-lieu , les plus grands de tous dans les puissances à expo-sant impair.

24. Les considérations précédentes nous conduisentà l’importante proposition de Jacques Bernouilli, dontvoici l’énoncé :

On peut toujours assigner un nombre d'épreuves tel,qu il donne une probabilité aussi approchante de la