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parfaitement égales , deux joueurs , jouant h qui auragagné le premier trois coups se séparent sans terminer ,lorsque le premier en a gagné deux et le second un ; ondemande comment ils doivent partager la mise ou l’en-jeu.

Ce problème fut proposé à Pascal et à Fermât par lechevalier de Méré, qui n’avait pu le résoudre. Rober-val y échoua aussi quoiqu’il fût un autre géomètre quece chevalier, dont on ne connaît aujourd’hui que lesfaux raisonuemens sur les probabilités , rapportés dansune des lettres de Pascal. Voici la solution de ce der-nier.

Lorsque deux joueurs, dit Pascal, ont déposé leursmises, c’est-à-dire, qu’ils ont abdiqué la propriété pouren remettre la décision au sort, et qu’après quelquescoups ils veulent se séparer sans attendre la fin du jeu,il est évident que, s’ils étaient égaux en points, ils au-raient l’un et l’autre une égale espérance de gagner,un droit égal sur la somme déposée, - ils devraient doncla partager également. Mais si avant le dernier coupqui les a mis but à but, ils eussent voulu se séparer, lejoueur le plus avancé en points eût pu dire : Si je perdsle coup prochain, nous sommes but à but ; et en ces-sant alors le jeu j’emporterai la moitié de la mise totale;voilà donc déjà une moitié de cette somme qui m’appar-tient, quelque soit l’événement du coup qui va suivre ;ce n’est donc que l’autre moitié de la somme qui va êtremise à la décision du sort; ainsi le coup que nous al-lons jouer pouvant m'être également favorable ou con-traire, j’ai droit à la moitié de cette moitié, ce qui,joint à la moitié déjà acquise, fait les trois quarts de lasomme déposée.

La solution de Fermât est plus directe et donne uneméthode pour se diriger dans les questions semblables.Au point où en est la partie, dit-il, il est évident qu’ellesera terminée en deux coups au plus. Voyons doncquelles seront toutes les différences alternatives de gainou de perte qui peuvent arriver en deux coups; le pre-mier joueur peut d’abord les gagner tous deux, ou per-dre le premier et gagner le second. ou gagner le pre-mier et perdre le second, ou les perdre tous deux ;ainsi toutes ces alternatives peuvent être exprimées parles différentes combinaisons des lettres a cl b prisesdeux à deux, et qui sont aa, ab , ba, bb. Or, de tous cescoups ou combinaisons de gain et de perte , il y en atrois favorables au joueur le plus avancé, et leurnombie total n est que de quatre; ainsi la probabilité

qu il a de gagner est —, tandis que celle de son adver-

saire n’est que de ^ ; ils doivent donc partager la mise

totale dans le rapport de 3 à i, ou le premier doit enprendre les trois quarts et le second un uuart.

3(jo

La considération des probabilités composées, dontMoivre fit usage le premier d’une manière générale danssa Doctrine oj chances , résout plus facilement encorecette question. En effet, s’il était joué une partie de plus etque le premier joueur la gagnât, il aurait la mise totale;ainsi, comme le jeu est égal, il a d’abord une probabilité

de £; s’il ne gagnait pas cette partie, chacun des deux

joueurs ayant alors gagné deux parties, la suivante décide-rait leur sort; mais la probabilité que cette dernière partie

sera jouée est 1, ainsi la probabilité qu’elle sera gagnée

par le premier joueur est £ X ~ = ^ , et de mêmepour le second. Donc le premier joueur a pour sa proba-bilité totale de gagner - ^ , tandis que le

second a seulement £.

4

Si l’on supposait trois joueurs et qu’au premier man-quât un point, au second deux et au troisième trois ;en raisonnant de la même manière, ou trouverait quela probabilité simple pour chacun étant £ et la partiedevant être terminée en trois coups au plus, la proba-bilité totale de gain pour le premier serait

3^3

, l + l .

3 ‘3

2

3 ‘

1

3 =

19

2 7

celle du second 5 .

3

3^3

1

• 3

=

J_

27

et celle du troisième

I

1

1

'1

3

‘ 3

■ 3 —

27

Ainsi il faudrait partager la mise de manière que le

premier eût les —, le second les —, le troisièmer 27 ’ 27

24. Jusqu’ici nous avons considéré le nombre deschances qui donnent un événement comme entièrementconnu, et nous avons déterminé à priori la probabilitéde cet événement; nous allons maintenant supposerque ce nombre est inconnu, et que l’on n’a pour déter-miner la probabilité de l’apparition future de l’événe-ment que l’observation de ses apparitions antérieures.

Pour éclaircir ce nouveau point de vue, prenonsl’exemple, donné par Condorcet, d’une urne qui ren-ferme 4 boules, dont les unes sont blanches et les au-tres noires, mais dont on ignore combien il y en a dechaque espèce. Supposons qu’en 4 épreuves, après cha-cune desquelles la boule tirée a été remise dans l’urne,afin de conserver les mêmes conditions , on ait amenétrois boules blanches et une noire, et proposons-nousde trouver la probabilité d’amener une boule blanchedans une cinquième épreuve.