366 PR

Or, nous pouvons supposer que l’urne contient ou

3 boules blanches et 1 noire, ce qui donne <1=3, b=i

. .2.. a=2, 3=2

..3. a=i, 3=3

PR

11

46 x 4 + 46 x 4 + 46 * 4

i iG

.84

Ôn trouverait de la même manière pour celle de lasortie d’une boule noire

en désignant par a le nombre inconnu des boules blan-ches , et par 3 celui dès boulès noiVcs-.

Mais d’après (i5) le nombre des chances de l’événe-ment composé de la sortie de 3 boules blanches et d’uneboule noire est

4 a 3 b

Ainsi substituant dans cettè èxpressîbn les valeurs dea et de 3 relatives à chacune des hypothèses, nous ob-tiendrons le nombre de chances qui, dans chacune deces hypothèses, appartient à l’événement composé quenous considérons. Nous aurons ainsi

27, 16, 3 j

et l’hypothèse qui donne le plus grand nombre dechances est aussi celle qui est la plus probable, puis-qu’elle s’accorde le mieux avec la possibilité de l’évé-nement observé.

Puisque les trois hypothèses embrassent lous les caspossibles , une d’entre elles a nécessairement lieu ; ainsila somme de leurs probabilités doit être égale à l’unité,et comme, dans cet exemple, cés probabilités sontpro-portionnelles aux nombres 27 , 16, 3, dont la sommeest 46, elles se trouvent exprimées par les frictions

27 16 3

46’ 46’ 46'

Remarquons maintenant que pour tirer une boule blan-che , dans une nouvelle épreuve , la probabilité de la

première hypothèse étant ^, et celle d’amener une

boule blanche, dans cette hypothèse, étant ^ , la pro-

JB ^

habilité du concours de ces deux événemens est X > •

46 4

On a de même pour le tirage d’une boule blanche dans10

la seconde hypothèse ^ X et dàns la troisième

hypothèse, ^ X Ces trois probabilités ~l X

— v - , — x - doivent s’ajouter» car elles se rap-46 A 2 ’ 46 ^ 4 J

portent à la même unité qui représente la certitude, etelles sont par conséquent trois parties de la probabilitédemandée.

On a donc pour la probabilité de la sortie d’uneboule blanche au cinquième tirage

27

46

X 4 + ^ X ? + I x 4

68

184'

En analysant la marche que nous venons de suivre,on verra qu’elle repose sur les trois principes suivans :

I. Les probabilités des hypothèses établies sont pro-portionnelles aux nombres des chances que ces hypo-thèses donnent pour les événeinens observés.

II. Les probabilités des diverses hypothèses se for-ment en divisant le nombre des chances de Vévénementcomposé , calculé dans chaque hypothèse , par lasomme dès chances dans toutes les hypothèses.

III. La probabilité d’un nouvel événement simples'obtient en formant la somme des produits des proba-bilités dès hypothèses par celles de Pévénement prisesdans chaque hypothèse.

25. On peut, d’après les principes précédens, con-struire des formules générales applicables à tous les câsparticuliers , et déduire ensuite de ces formules les loisdes probabilités à posteriori. Mais ces formules, d’ail-leurs très-compliquées, exigent l’emploi du calcul inté-gral , et leur déduction dépasse nos limites. Nous pou-vons seulement signaler leurs principales conséquences.

Supposons, dans le cas de l’urne contenant quatreboules, qu’on ait fait quatre nouveaux tirages et qu’011ait encore amené trois boulès blanches et une noire;alors nos données sont un événement composé de lasortie de six boules blanches et de detix boules noires,dont le nombre des chances est (i5).

8.7 r ,—i aPb\

Donnant successivement à a et 3 les valeurs correspon-dantes à chacune des hypothèses, nous obtiendrons lestrois nombres

20412 , 71 58 , 252 ,

et comme la somme de ces trois nombres est 27822, lesprobabilités des hypothèses deviennent

204. 2 7.58 2 52

27822 1 27822 1 27822'

En les comparant avec celles qui résultent des quatrepremières épreuves :

27 16 3

46 ’ 46 ’ 46’

on voit que la probabilité dé la première hypothèse,