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Dans le cas de l’égalité de tous les facteurs qui entrentdans chaque produit, on aurait, en désignant par m lenombre des proportions ,

A™ ; B-n ; : Cm ; D m ,

Ainsi, lorsque quatre nombres sont en proportion ,toutes les puissances de même degré de ces nombressont aussi en proportion. Il est évident qu’on peut endire autant des racines.

En comparant les deux proportions primitives (m),on voit aisément qu’on a encore

A B .CDE : F : : G : H’

d’où il suit que les quotiens des termes correspondansde deux proportions sont aussi en proportion.

12. Lorsque les deux moyens sont égaux, commedans la proportion

A : B : : B : C.

la quantité B se nomme moyenne proportionnelle en-tre A et C. Sa valeur est égale à la racine carrée duproduit des extrêmes. En effet,on a (<7)

BXB = A X C,

et, par conséquent,

B = \/A X C

Ou nomme proportion continue celle dans laquellechaque moyen est une quantité moyenne proportion-nelle aux deux termes entre lesquels il est placé. Parexemple

2 : 4 : : 8 : 16

est une proportion continue, parce qu’on a

2 : 4 : : 4 : 8 et 4 : 8 : : 8 : 16.

13. Si l’on a une suite de proportions qui aient unrapport commun, telles que

A : B :: M : N

C : D : : M : N

E : F :: M : N

G : H : : M : N

etc.etc.

ce qui donne

A:B::C:D::E:F::G:H:: etc.: : M t N.

la somme de tous les premiers antécédens et la sommede tous les premiers conséquens auront entre elles cemême rapport commun.

En effet de

A : B :: C : D

ou tire

(A + C) : (B + D) :: C : D

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à la place du rapport C : D, substituant dans cettedernière proportion le rapport E : F qui lui est égal,elle deviendra

(A+C) : (B+D) :: E : F

et l’on en tirera encore

(A + C -f-E) : (B + D + F) : : E : F

substituant dans celle-ci à la place du rapport E : Fle rapport égal G : H, on trouvera de même

(A + C+E+G) : (B + D + F+H) :: G: Het ainsi de suite. On a donc en général(A-f-C-j-E+G-f-etc.) : (B+D+F+H+etc.) : : M : N.

14. On donne le nom de Proportion harmonique àcelle qui a lieu entre trois nombres, tels que le rapportdu premier au troisième est égal au rapport des diffé-rences qu’il y a entre le second et les deux autres. Parexemple les trois nombres 2, 3, 6 sont en proportionharmonique , parce qu’on a

2:6::3 — 2:6 — 3 , ou 2:6:: 1: 3

En général, si les nombres A, B, C donnent la propor-tion

A : C : : B — A : C — B

ces nombres sont en proportion harmonique. Le secondnombre B prend le nom de moyen harmonique. On ob-tient sa valeur, lorsque celles des deux autres nombressont données, en divisant le double produit de ces nom-bres par leur somme. En effet on lire de la proportionci-dessus

A (C — B) = C (B — A), ou AC— AB = RC — ACce qui donne

B(A + C) = 2AC, et b = ^j-° c

15. Les anciens se sont beaucoup occupés des pro-priétés des moyennes proportionnelles, tant arithméti-ques que géométriques et harmoniques. Pappu?, dansses collections, en mentionne plusieurs au nombredesquelles se trouve la suivante : si a, b, c sont troisnombres tels que b soit moyen proportionnel arithmé-tique ou géométrique ou harmonique entre les deuxautres, ou aura dans le cas du moyen

arithmétique. ... a: a : : a — b : b — cgéométrique..... a : b : : a — b : b — charmonique. a : c : : a — b : b —c

Cette expression des trois différons moyens propor-tionnels à l’aide de la seule proportion géométriqueest remarquable par son élégance. On tire aisément de