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lu même dénominateur, elle devient

A XD C X B

B X D B X D’

ce qui donne, eu retranchant le dénominateur commun,A X D = C X B.

Cette dernière égalité nous apprend que dans toute pro-portion le produit des extrêmes est égal à celui desmoyens.

8 . On tire immédiatement de cette égalité les quatreexpressions suivantes :

C XBD ' ’

axd. C ’

AXDB ’

G X BA ’

desquelles il résulte : i° que l’un quelconque des extrê-mes est égal au produit des moyens divisé par l’autreextrême ; i° que l’un quelconque des moyens est égalau produit des extrêmes divisé par l’autre moyen.

La règle de trois , en arithmétique, est fondée sur cesrelations. {F'oy. Trois.)

9. Dans toute proportion

A : B : : C : D

le rapport des antécédens est égal a celui des consé-quens ; c’est-à-dire qu’on a

A : C : : B : D.

10. En combinant ces propriétés générales avec celle*des rapports {voy. Rapport), on obtient facilement tousles changemens qu’on peut faire subir aux quatre termesd’une proportion fondamentale sans la détruire. Voicices changemens : M étant un nombre quelconque et

A : B :: C : D

étant toujours la proportion primitive, on acomponendo. A-f-B:B::C-f"D:Ddividendo. ..A — B : B :: C'— D : DAXM:B::CXN:D

(A+B.M) : B :: (C+DM) : D(A—B.M) : B : ; (C—DMj : C,

(A+C) : (B+D) : : C : D(A+C) : (B+D) : : (A-C) : (B—D )

etc... etc...

On prouve que la proportion subsiste toujours parl’égalité du produit des extrêmes à celui des moyens quia lieu dans ces diverses modifications de la proportionfondamentale.

11. Les produits des termes correspondans de deuxproportions forment une nouvelle proportion; c’est-à-dire qu’ayant les deux proportions (m),

Car la proportion étant mise sous la forme

A _ CB — D’

si l’on multiplie les deux termes de cette égalité par laquantité ^ , on obtient

A.B _ C.B A BB . C D. C ’ ° U C — D’

Dans toute proportion, on peut donc changer lesmoyens de place, ou, encore , mettre les extrêmes à laplace des moyens sans la détruire. Les quatre termessont toujours en proportion , seulement le rapportn’est plus te même.

Les mathématiciens désignaient jadis ces changemensdans l’ordre des termes d’une proportion par des nomsparticuliers ; ainsi, ils nommaient alternando ou per-mutando la transposition des moyens entre eux, et in-verlendo , le renversement des rapports qui a lieu lors-qu’on met les eitrêmes à la place des moyens. De cettemanière, la proportion fondamentale étant

A : B : : C : D

On a : alternando. A : C : : B : D

et invertendo .... B : A : : D : C.

A : B :: C : DE : F :: G : H

on a aussi

AXE:BXF::CXG:DXH.

En effet, R étant le rapport de la première propor-tion , et R' celui de la seconde, on a évidemment

A X ï : B X F = H X K'CXG:DXH=RXfi'

La dernière proportion a donc un rapport composé decelui des deux proposées. Si l’on avait trois, ou en gé-néral un nombre quelconque de proportions

A : B :: C : D

E : F : : G : II

I : K : : L : M

N : O : : P : Q

etc... etc...

On aurait de même

AXEXlXNXetc. : B X F X K-X O X etc.

:: C XD XE X P X etc. : D X H X M X QX etc.