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À’7

ainsi posant BD == 2 / etBN = y, il est facile de recon-naître que la corde DH est égale à

VLBDXDN] = \AM*r-y)]

donc

arc cycloïdal DM = 2 DH.

En faisant y = o , cet arc est la moitié de la cycloïde,et la corde devient le diamètre du cercle générateur jainsi, la cycloïde entière ADC est égale ci quatre foisle diamètre du cercle générateur.

6. Lorsque l’équation des courbes est donnée en coor-données polaires, il faut employer la différentielle del’arc exprimée en fonction de ces mêmes coordonnéescette expression est

ds = \Z[dz 2 -f- zVfr 5 ] ,

zdésignant l’ordonnée, et v l’angle de cette ordonnéeavec l’axe.

En effet, nous avons vu (polaire) que pour passer descoordonnées rectangulaires à des coordonnées polaires,il fallait poser les équations

x = a «f- z cos (v-)-j3) , y = b + zsin (V-|-/3).

Ainsi , différentiant ces expressions, nous auronsdx = ifz.cos(v-j-/3) — a.sin(v+jS).rf»>dy = rfz.sin (v+jS)-j-z.cos^+Z 3 )-^.

Elevant chacune de ces égalités à la seconde puissanceet ajoutant, il vient

de deux rangs, ajouté au double de celui qui le pré-cède immédiatement.

Ces séries, considérées pour la première fois parMoivre , dans ses Miscel. analyt. et dans sa Doctrineof chances, sont engendrées par le développement detoute fonction fractionnaire rationnelle, et on les classepar ordres selon le degré du polynôme qui forme le dé-nominateur de la fraction. Ainsi, la série qui résultedu développement de

a

p+qx ’

est dite récurrente du premier ordre ; celle qui résultede

a-\-bx

p-\-qx-\-rx* ’

se nomme récurrente du second ordre ; et ainsi de suite.

Dans une. série récurrente de l’ordre m , les m pre-miers termes sont indépendans les uns des autres, et laloi de génération ne commence à se manifester que dansle m-f-i><™o terme qui est alors formé, ainsi que tousceux qui le suivent , par la somme des m termes précé-dens, multipliés chacun par des quantités constantes,dont l’ensemble se nomme l 'échelle de relation.

Pour éclaircir cette théorie, examinons en particulierla formation des séries récurrentes du second ordre.Posons

H$4b = A + B *+ c *'+ D *’ + "*••••

dx‘ -f- dy' = [cos 1 (e -J-jSJ-f- sin 1 (v+ fi)]dz 2-j-fcos 1 (v-[-p)-|- sin* (i'4-/3)]z 1 <A' 1

et enfin ,

dx 2 -\-dy* = dz 2 -\-z 2 dv 2

a ca use de cos 1 (i»—j—S) -}- sin 1 (e-j-|3) = 1 .

Nous donnerons ailleurs des exemples de l’applica •tion de cette dernière formule. {Voy. Spirale.)

RECTILIGNE. ( Géom.) Terme qui s’applique auxfigures terminées par des lignes droites.

et déterminons les coefficiens A, B, C, D, etc. par laméthode des coefficiens indéterminées. (Voy. Coeffi-ciens.) En multipliant les deux membres de (ette éga-lité par p -f- qx -f- rx* , et transposant ensuite tous lestermes dans le second membre, nous obtiendrons

,A p +B P

x -f- Cp

x 2 + T>p

x 3 -f- E p

0 = ] —a -f- Aç

+ B q

Cq

D q

' —b

-f- A r

B r

C r

a; 4 -f- etc.

ce qui donne les équations

RÉCURRENTE. (Alg.) Ou nomme, en général,série récurrente toute série dans laquelle chaque termeest formé par un certain nombre de termes qui leprécèdent, d'après une même loi. Telle est, par exem-ple , la suite des nombres

l > 3, 4j 7 . n, iG, 27 , 43, etc.

dont chaque terme est égal à la somme des deux termesqui le précèdent immédiatement ; telle, est encore

1, 1, 5 , 12, 29, 7°. lC 9> ctc -

dont chaque terme est formé par celui qui le précèdetome h.

A p—a = 0 , d’où A

a

P

B^-j-Ay+i = 0 ,

B = — ï A + -,

P P

C^-f-B^-j-Ar -—■ 0 ,

C = _2 B -- r A ,

p p

D/r+Cy+Br = 0 ,

D = —^ C — - B,P P ’

E/r+Dy-j-Cr = 0 ,

E~-î D - r - C>

P P

etc...

etc....

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