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ce qu’on effectuera par les procédés indiqués Intégral,37. On obtiendra de cette manière, en désignant parM l’arc dont le sinus = x , qui est donné par

/ dx .

— -. = arc (sin = .r)

V/(i — x y ) v '

RE

Dre entier, nous aurons n = , et l’équàtinn > ’ "

•xm *

== p' m x* m +i correspondra à une infinité de parabolestoutes exactement rectifiables. Quant aux autres, iln’est possible de les rectifier que par approximation.

L’équation de la parabole ordinaire ou conique esty = px* ; faisant donc n = a dans l’expression (a ),nous obtiendrons en intégrant par parties.

pdx.y/ i—e*x‘ 1 ti _ . s

1 *3 A*

- - M

2.4

+ etc.-f- const.

En faisant x = a = 1, cas où l’on a const = o et

M = ^ 7r, on obtient pour la valeur du quart de l’el-lipse

• j «.i , i.i.i.3 , i.i.i.3.3.5 , 1

5 W L 1 _ r. 2 e -ÏTm. 4 ÏX076.6 c - etc -J

série très-convergente lorsque l’excentricité e est unepetite fraction.

4. Problème III. Rectifier les paraboles des diversdegrés représentées par l’équation y = px n , dans la-quelle n est un nombre quelconque entier ou fraction-naire.

Cette équation fournit dy= npx*— l dx , d’où\Z[dx'-\-dy'] = dx\/[ 1 -f- n'p‘x yr '—‘].

Ainsi l’arc parabolique est exprimé par (a),f[\ -}- n'p* *

= -- r ( , +4 />’•*’)*

+ ^ Log [ \px + Vi 1 + 4 />’•*’)]

-f- const.

On supprimera la constante si l’on compte l’arc pa-rabolique à partir du point où x = o.

5 . Problème IV. Rectifier la cycloïde. L’équation decette courbe est (voy . Cycloïde)

X = arc (sin = \Z\iry — J*]) — Vl^— .H >

En observant que le sinus qui entre dans cette expres-sion est pris dans le cercle générateur dont le rayon estr , on obtiendra par la différentiation

dx =

yày

Vxry

Elevant à la seconde puissance et substituant à dx» savaleur, dans ds = \/[dx • -f- dy), il vient

ds —

dy \/2rV2 ry — y‘

intégrale qu’on peut obtenir sous une forme finie, lors-que l’exposant 2 n —2 est égal à l’unité ou s’y trouvecontenu un nombre exact de fois. ( Voy . Intégral, 33 .)

Dans le cas de 2/1 — 2 =3 1, ce qui donne n — -

2

la courbe est donnée par l’équation y=px ', 00^*=p‘x 3 , c’est la seconde parabole cubique, et l’on obtientpour l’expression de son arc, compté à partir de l’ori-gine où x = o,

^-■[c +1 P’* ) 5 - ■ ]

Nous avons dit que cette courbe est la première qui aitété rectifiée.

Si nous posons 2* — 2 *= I, m désignant un nom-

dont l’intégrale est

Vxr f -—=■ = - x\/.[xr{xr—y)] + const.

1/ V xry — y»

Pour interpréter ce résultat, remarquons que In par-tie variable de l’intégrale s’évanouit lorsqu’on faity = 2r, et, par conséquent, que si l’on compte l’arccycloïdal à partir de ce point, il n'y a pas besoin d’ajouter de constante. On a donc pour la valeur absolue del’arc compris entre ce point, milieu de la cycloTde, elle point dont l’ordonnée est y,

s = 2\/[ar(2/v-; y)].

Or, dans la figure 6 , pl. 5 o, si l’on considère l’» ,ccycloïdal DM, on voit que la partie BN dudiamètiede cercle générateur est égal à l’ordonnée du point K,