RE
sentiel d’examiner les séries qui résultent de ces frac-tions.
D abord la fraction ———, donne la série
i —CUC
M -f- Max -j- Mi’x 1 -f- Ma 3 x 3 -{- Ma 4 x 4 -j- etc.
dont le terme général est M*"'- I x"‘—«, m étant l’in-dice du rang des termes.
La fraction ———— engendre la série(I — ax ) 2 5
M -j- iMax -(- 3 Ma J X 2 -f- 4 Ma 3 x J -j- 5 Ma 4 X 4 -}- etc.dont le terme général est wMa"* - l x m ~■*.
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et tirons de cette égaüté la valeur de P et de Q, noustrouverons (voy. Intégral, 27 ).
p = ? o — lr 3 1 ” 3
Or les termes généraux des séries engendrées par
1+x 1 1 —2X
sont, d’après ce que nous venons de voir,
2 I
3 (—— 1 ^ <1^—1, x m —1
Ainsi le terme général de la série proposée est
La fraction -———^ donne la série(1 —axy
M -f- 3 Max -j- 6Ma 2 x 2 -f- ioMa 3 x 3 -f- i 5 Ma 4 x 4 -f- etc.dont le terme général est m ^ Ma 1 »— ix m ~ 1
ou
(— l) m — 1+ ^ 2"<—'j.rI
2m— —l) m — 1 m— I
- 3 -*
1.2
En général, la fraction --— donne la série
0 (1— suc)/*
M-f Ma>x* -f ^^g +lWx 3 +etc.
I . *2 l * 2 . • O
dont le terme général est
mfm+i)(i«+2)...(m+ p-a)
1-2-3.(fA- 1 )
Donc toutes les fois que la décomposition d’unefraction rationnelle pourra s’effectuer en fractions par-ût
belles de la forme- —r-, on pourra toujours dé-
(t — scx)l* r J
terminer le terme général de la série récurrente engen-drée par cette fraction. C’est ce que nous allons éclaircirPar des exemples particuliers.
Exemple I. Trouver le terme général de la sérierécurrente produite par le développement de la frac-tion
En faisant successivement dans cette expressionm =z 1 , 2, 3 , etc., on obtiendra les termes successifs 1,ox 2 2 , etc. de la série , sans avoir besoin de les con-struire les uns à l’aide des autres.
Exemple II. Trouver le terme général de la sériequi résulterait de la fraction
1
1 —x — x 2 -j-x 3 ’
En décomposant cette fraction on obtient
1 1 ' 1
1 __2_1 4 1 4
(1 — x )*( l — (1— x ) 2 ‘ 1—x ~ i+x
Le terme général demandé est donc
- mx>»- 1 4 - x"'-! + t( — 0' n -‘ .x«-‘*2 L 4
im -j- I -j- (—l ) m— ■ 1 m— (
: _ •*
1—0 c _
I—X—2X*
Cette série est
1 -}-ox-l-2x , -j-2x 3 -}-6x 4 -(-1 ox 5 -t-22x 6 +42x7, etc.
dans laquelle le coefficient de chaque terme , à partirdu troisième, est égal à la somme des deux qui le pré-cèdent, multipliés respectivement par -f- 2, -j- 1
Les facteurs du premier degré, du dénominateur 1—x_ 2 X x étant i-j-x, 1—2x, posons
1 — X _ JP_ 1 _Q _
1 _ Æ _2x a i+x T i-2X
d’où résulte la série
i -|-x + 2 x , -|- 2 * 3 + 3x 4 -|-3x 5 -)-4 x 6 -j-4x7 -f-etc. . -
La recherche du terme général d’une série récurrenteest donc fondée sur la décomposition de la fraction gé-nératrice en fractions partielles , décomposition d’unegrande utilité dans le calcul intégral, et qui se réduit endernier lieu à la détermination des facteurs du déno-minateur. Cette question est par conséquent soumise àtoutes les difficultés de la résolution des équations. Larecherche du terme sommatoire donne lieu à deux pro-blèmes différens; ou l’on demande le véritable termesommatoire, c est-a-dire celui qui donne la somme d’un