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nombre quelconque de termes d’une série récurrenteproposée, ou l’on demande seulement la somme detous les termes , c’est-à-dire, la fraction génératrice dela série. Nous traiterons seulement ici ce dernier cas,qui est le plus facile ; le premier sera examiné ailleurs.(Vqp. SOMMATOIKE.)

Pour fixer les idées, soit

A -f- Bx -f- Cx* + Dx 3 -J- Ex 4 etc...

une série récurrente du troisième ordre, dont l’échellede relation est

+ r > + 9 j + P-

Cette échelle nous fait immédiatement connaître le dé-nominateur de la fraction génératrice

i — px — (/x* — rx 3 ;

ainsi le numérateur devant être de la forme a -J- bx -f-cx* , posons

a = A 1

b = B — p S.c = C — pB — qkd = D — pC — r/B — rA

La loi générale de ces déterminations est facile à saisir.

Daniel Bernouilli a tiré de la théorie des séries ré-currentes un procédé très-ingénieux pour obtenir parapproximation les racines des équations numériquesd’un degré quelconque. Nous avons exposé ce procédéau mot approximation; il nous reste ici à faire connaî-tre les principes sur lesquels il est fondé : soit

a -f- bx -(- ex* + dx 3 -f" ex 4 -j- etc.i — px — qx* — rx 3 — sx* — te 5 — etc.

la fraction rationnelle dont le développement est la sé-rie récurrente

A -f- Bx-f Cx’ + Dx 3 -f Ex 4 -f- Fx 5 + etc.

fl - j- bx -j- ex * 1

i— px — qx* — rx 3

A -J- Bx-f- Cx 1 -j- etc...

et la méthode des coefficieus indéterminés nous feratrouver les relations

a = Ab = B — pAc = C — pB — <7 A ;donc la fraction demandée est

D’après ce qui précède, les coefficiens A, B, C,D, etc. de cette série, sont déterminés par les ex-pressions.

A = aB = pA -f bC — pB -j- q A -j- cD = pC + qXl + rA -f- dE = pD + qd 4- r'B -f- sk 4* eetc. = etc.

A -f- (B—pA)x -}- (C—pB— qk)x x

i — px — qx* — rx 3

soit, pour exemple, la série du troisième ordre

i — ix -f- 3x a — iox 3 -j- 2ax 4 — 5ix 5 -]~ etc.

L’échelle de relation est — 3, 4" 2 > — i, et, parconséquent, le dénominateur, i -J- x — 2x’ -f-3x 3 ;comme nous avons en outre A = i,B = >—2,C=3,en substituant ces valeurs dans la formule, nous trou-verons pour la fraction génératrice de cette série

i — x — x*

i-j-x—2X , -|-3 x 3

Si la série était du quatrième ordre et son échelle derelation -{• s , r,-\-q , p., une marche sembla-ble nous ferait trouver pour les indéterminées a, b , c,d , de la fraction génératrice

a 4~ bx + cx x -|- dx 3• —px — qx 1 — rx 3 — sx*

et son terme général se trouve par la résolution de lafraction génératrice en fractions partielles dont les dé-nominateurs sont les facteurs du dénominatcur

i — px — qx x — rx 3 — etc.

Supposons que la décomposition de la fraction ra-tionnelle en fractions partielles donne la suite

a' , b’ , c' , d' ,

— 4* -r— 4- 1 - —f- ■■ . — 4 etc •

I— OLX I— px * I— yx 1 i —ax 1

alors le terme général de la série récurrente sera

(a'a m ~ l 4“ b'P m ~ 1 -f" c'y m ~* 4- dS' m ~i etc.) x m ~-i

Si nous désignons par P le coefficient de x m ~ 1 , et parQ, R , etc. ceux des puissances suivantes, la série pren-dra la forme

A+Bx+Ca;’4-etc.. .4Px"*-- , 4Q Æ " , +R a; '’ , + l 4' etc "*

Ceci posé, remarquons que les puissances des nombresinégaux deviennent d’autant plus inégales les unes parrapport aux autres que ces puissances ont des expnsaus

le, expressions