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On trouverait de la même manière
J) __ F(g 3 )—A—B.y(g,)—C.y(« 3 ).y,(a î)
f\ a 3 )‘ 9 ,{ a i)-U A 3 )
et ainsi de suite. La loi de formation de ces coefficiensles uns au moyen des autres est évidente.
La série (c) embrasse' toutes les séries possibles; laloi elle-même de cette série, c’est-à-dire l’expressiongénérale de ses coefficiens A, B, C, D, etc., est due àM. Wronski, ainsi que toutes les déductions techni-ques que nous venons de donner.
7. Si l’on donne aux fonctions arbitraires yx, tp.a.',y.a:, etc. les déterminations
<fx, ?(.x+2|) , ?(*+ 3 |), etc.
les produits de ces fonctions seront les facultés de lafonction arbitraire <fX (voy. Faculté) , et la série (c)prendra la forme (d)
fx = A -f- B.yx-\- G.epjE’*lïD.f-f-E.<px 41 Ç—J— etc.
qui est le cas principal ou fondamental de la forme gé-nérale (c), celui auquel on peut ramener tous les autres.{Voy. Wronski. Philos, de la technie, a' sec.) Lescoefficiens A, B, C, D , etc., sont (d)
A == Fx
tS'fX
la somme des produits des différences de ces fonctionscomposée de la manière suivante. Ayant formé avecles exposans a , h , c, d,.... p des différences toutesles permutations possibles, on donne ces exposans, danschaque ordre de leurs permutations , aux différencesconsécutives qui composent le produit
AX j. AX a . AXj.... AXct
en donnant de plus aux produits séparés formés decette manière , le signe positif lorsque le nombre desvariations des exposans a , b , c , etc., considérés dansleur ordre alphabétique , est nul au pair, et le signenégatif lorsque ce nombre de variations est impair;enfin on prend la somme de tous ces produits séparés.On a ainsi, par exemple ,
^[A-X,] = A«X,
ty[A"X I .A*X.] = A n X,. A^'X,— A*X,. A a Xj{y[A“X I . A 4 Xa. A c Xî] = A«X.. A A X a . AcXî —
— A«X,. A C X,. A*X, -f--J- A^X,. A c Xj. A a X 3 —
— AjX,. AnX,. A-'X, -|-A C X t . A"X a . A*X 3 —
— A c Xi. A^X,. A a Xj
etc.etc.
B^x.A-Fi]
Ayi. ts’yx^
ty[A'<pjê. A’yx» ILA 3 Fx]
Afi.A’ipx^iLA^x^l?
tyfA'si.r . A’yi: 2 !*. A 3 yx 3 lf ■ A<F x]
— Ayx. A\r 2 IL A 3 ? i;3|?. A 4 yx<lf
etc. = etc.
Le point placé sur x indiquant qu’il faut donner àcette variable, après avoir pris les différences, la va-leur qui rend yx = o , et la caractéristique tJf dési-gnant des sommes combinatoires dont nous allons indi-quer la formation. L’accroissement des différences, quidoivent être prises en faisant varier x en moins, est icile même que celui f des facultés.
8. Soient X,, X,, X,, etc., plusieurs fonctions d’unequantité variable , M. Wronski nomme somme combi-natoire et exprime par la lettre hébraïque schin, ainsiqu’il suit
La formation de ces sommes combinatoires est ana-logue à celle des valeurs des inconnues données par leséquations du premier degré. {Voy. Équations ii, 12,et i 3 .)
9. En appliquant cette loi de construction des fonc-tions aux expressions (d) , c’est-à-dire en faisant lesexposans a, b, c, d, etc. égaux respectivement à 1,2,
3 , 4 » etc., ° n voit que ces expressions sont identiquesavec <
A = Fx
B =
AFjj
Ayx
A'yx . A’ Fx A’yx . A'F i:
Ayx- A 2 fx a l5 Ayx .A*yx*'i’s
k'yx . A *yx a II. A*F xA(pX.A ? i;a|Ç.Al ? i' 3 ÎÇ +
A'yx . A'yx x '$. A 3 F,rAyx . A’ÿx’IL A 3 yx3if
+
A'tfJc ■ AîyjHÇ .A'F.rhyx . A’çac 1 5. A 3 (pi-3|?
_^?x.A'iyi; a 'iLA3Fi:A*i. A’yx 2 IL A’yi^jj "V
^[A<*Xi. A^X,. A c Xs
A/’Xw]