SE

F,x —B Fi—A—Bfx o

fX (fx) 1 °"

Prenant les différentielles secondes du numérateur etdu dénominateur, nous obtiendrons

c = «rn*

SK

n’arriverait pas par ce procédé à l’expression généralede ces coefficiens, qui est proprement la loi de cettesérie. Nous verrons plus loin quelle est cette loi, ici ilne s’agissait que d’établir la possibilité de la forme ( b )des séries. Cette série (6) est celle Paoli .{Voy. Diff., 4 * •)6. Pour obtenir la forme la plus générale des séries,prenons la suite des fonctions aibitraires

fX, f,x , <f,x, f,x, fix, etc.

<tr>2

et, par suite,C

<fX

^ (J>

Désignons par F 3 x, et décomposons F,x enF } x = D -J-

la fonction <t>,x devant être zéro lorsque fX = oj nousaurons de même

D = F,x ,

et, par conséquent,

D _ _ F,x— C F.x—A—Bfx

~ fx — fx — . (fi)’

Fx—A— B fx —Cffx) 1 o

(fi :) 3 o 1

ce qui nous donnera. en prenant les différentielles troi-sièmes du numérateur et du dénominateur,

D = Brf V—

En poursuivant de la même manière et substituantensuite les résultats les uns dans les autres, nous auronsdéfinitivement la série ( b ) '

Fx = A -f- Bfx + CfX’ -f- DfX 3 -J- Eyx 4 -f- etc.

et changeant de mesure à chaque transformation suc-cessive de la fonction proposée Fx, nous aurons de

Fx = A -f- <t>x= F,x = B + <t>,x

= F.x = C -J- <t>,x

= FjX = D -f- <t>,x

= F*x = E -j- <i>4x

= etc. = etc.

et, en substituant ces expressions les unes dans lesautres (e),

Fx = A -J- BfX -}- Cy x .f ,x -f-Df x .f t x. f.x -|- etc.. .

Or, d’après le principe de ces transformations, lafonction <t>x doit devenir zéro lorquc yx = o; ainsidésignant par a la valeur de x qui rend fx = o, on a

A = F (a)

cette manière :

4>x

f X

<t>,x

f.X

4>,X

* 3 X

f 3 X

etc.

dont les coefficiens A , B, C, D, etc. sontA = Fx

B =

dfx t

C = fiHrffx)’ [d>Fi '~ B ^ 1

E = î3 Tl (réfx) 4 ' Brfyx—Cc/ 4 fx’—Drfyx 3 ]

etc.= etc.

On pourrait, en substituant successivement lés une*dans les autres les valeurs de ces coefficiens , obtenirtturs expressions isolées ou indépendantes, mais on

De même <t>,x devant être zéro lorsque f,x =j o , sinous désignons par «, la valeur de x qui rend f.x =a o,nous aurons

B = F, (a,)

et, par conséquent,

B ~ 4

7 (a.) f(a.)

4>.x devant également être zéro lorsque f.x = o,désignant par «, la valeur correspondante de x , noustrouverons

C = F, (or.)

et, par suite,

c = »■(«.) . F,(g.)—B __ F(«,)—A- B.y(g)

fi(«*) ?•(“•) f(«.) •?■(“•)