SE
A<F*=A,. AV*+ A t . A 4 yx a lï -}- A». A 4 yx 3 i 5 -f- A*. A 4 yx*lf-f- etc.
etc. = etc.
Or, ces égalités étant indépendantes de toute valeurparticulière de x, si nous donnons à cette variable lavaleur qui rend yx =o, elles subsisteront toujours,mais comme alors les différences dont l’exposant estplus petit que celui de la faculté deviennent zéro, ceségalités se réduiront à ( h )
AFx = Ai. Ayx
A’Fx = A,.A , yx- 4 -A > .A«yX a lï
A 3 Fx = A,. A 3 yX-|-A a . A 3 yX a l?-j-A 3 . A 3 yx 5 l 5
A^Fx = A,. A ? yx-{-A a . A 4 yx 2 lf-j- A 3 . A 4 yx 3 l?-|- A 4 . A 4 yx*lf
etc. = etc.
En effet, la différence de l’ordre m d’une facultéyx'*lï, en prenant cette différence par rapport à l’ac-croissement | et en considérant cet accroissementcomme négatif, est (voy. Différence, 14)
. ni , ,, . m(m —1) .
A'»yx»'il = yx n i!—- y (x—-• f(x—a|) «If
— etc.(—i) m .y(x—
Ainsi comme on a (voy. Facultés)
m{)»lf = y^x—mj).y(x—»i{+|).y(x—ffi|+2{)..
.y(*— 1 )|)
le facteur y* se trouvera contenu dans la facultéy(x—ml)"’? lorsque n sera plus grand que m. Donc cefacteur entrera dans tous les termes de la différenceA m y*»ltet, par conséquent, en donnant à x la valeur quirend yx = o, on a généralement, lorsque n )> m ,
A"* yX'‘if = O.
Remarquons maintenant que la première des éga-lités (h) donne d’abord immédiatement
Abb
A»Fx = A,.A»yx A a .A’yx a l?
on peut les considérer toutes deux comme deux équa-tions du premier degré entre les inconnues A, et A,;ainsi construisant la valeur de A a d’après la règle con-nue {voy. Equation, i 3) on aura
^ Ayx.A’Fx—A'yx.rfFx
Ayx. A’yx a i? —A’yX. A’yx 2 .î
ce qui est la même chose que (voy. ci-dessus, n. 8).
_ tl^A'yx. A»Fx]
2 ty[A'y*. A’yx’itj
De même, puisque Ayx a l? = o, Ay>jc 3 IÇ=o, A’yx 3 lf = o,les trois premières des égalités (h) sont identiques avecles trois équations
AFx = A,.Ayx-j-Aa.Ayx’if-j-A 3 .AyX 3 lîA’Fx = A1. A’yx-j-Ai. A’yx’lÇ-J* A j • A’yx 3 !îA 3 Fx = A,. A 3 yx-j-A,. A 5 yx a it-J-A 3 • A 3 yX 3 ltlesquelles donnent
fcy [A"yx. A’yx a l?. A 3 Fx]
As =
iy[A'yx. A yx a lt. A 3 yx 3 lt]
A, =
AFx
Ayx
et ensuite que cette première égalité est la mêmechose que
AFx = A,. Ayx + A’.AyX’lf
puisque Ayx’të = o. Comparant cette dernière avec laseconde égalité
En continuant de la même manière, on verra, nonpar induction, comme le fait observer M. Wronski,mais par le principe même de la formation de ces quan-tités , qu’on aura en général
✓
JJ? [A'yX. A’yx a lt.AP— >yXP—> 15 . A/^Fx]
^ $ÿ[A’yX. A’yx’lf.. ..AP— iyXP~’IE. APyxPlf]
p étant un indice quelconque.
Mais comme il faut faire yx = o, après avoir pris lesdifférences, la somme combinatoire, qui forme le déno-minateur de l’expression générale, se réduit à son pre-mier terme, car, dans tous les autres, la permutationdes exposans des différences introduira des différencesA’yxPlt dans lesquelles » sera plus petit que p et quiconséquemment se réduiront à zéro. On a donc simple-ment
£>[A'<px . A’^x 2 !?.. .AP— l <pxv-~ ‘If. AP<pxPlt]
— A^x.A’^X’IE.. .AP - *^XP _ * 11 .AP^xP't
et la loi générale de la série est, ainsi que nous l’avionsposée, (i)
A _ iy[A' yx. A’ffx’jj. . AP—»<ftxp—«W.A pFx]
12 Afx.A’?X a ,5..,. .AP-i<pxP-»lf.Af*^*piT
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