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Quant aux expressions médiates (g) des coefficicusA., A., A 3 , etc. on les tire des mêmes égalités (/t)parune simple transposition.

i3. Les expressions simplifiées (/) contiennent en-core , après le développement des fonctions , destermes qui se réduisent à zéro , mais on peut s’éviter lapeine de les construire en développant ces fonctionsd’après le procédé d’exclusion indiqué par M.Wronski,dans une note placée à la fin de sa philosophie de l’in-fini. L’expression générale {f) prend alors une formetrès-élégante dans laquelle il n’entre plus que les ter-mesisolés construits avec les différences de la fonctionFx etdes facultés <px , <px 7 15, etc. , et formant ainsi les élé-mens de la loi fondamentale des séries. Nous sommesforcés de renvoyer pour les détails à la Philosophie dela lechnie, deuxième section.

i4- La loi fondamentale des séries étant maintenantconnue, nous allons en déduire les principales lois par-ticulières trouvées par différens géomètres pour le dé-veloppement des fonctions. D’abord dans le cas , eaquelque sorte primitif, où l’accroissement f est indéfini-ment petit, c’est-à-dire lorsque f ou Ax est simplementdx , les différences deviennent des différentielles, et lasuite des facultés

<px, <px'\t, çxW, tpx l tt, etc.

devient la suite des puissances ordinaires ;

tpx, px 1 , 4 ix 5 , <px 4 , etc.

alors la forme générale (e) des séries se réduit à (4)

Fx == A 0 -f- Ai.px -f- A,.px’ -j- Aj.px 1 -J- etc.

dont lepremier coefficient A 0 est toujours Fi ou ce quedevient Fa; lorsqu’on donne à la variable x la valeurqui rend <px = o. Le coefficient général ( 1 ) devient (/)

_ &[d'tpx .d'ipx' . . .d l J —<<pxl J —'.d! J -Fx]

** dtpxd'px' . dp—'tpxP—'.dppxP

expression dans laquelle il faut toujours donner à a: lavaleur correspondante à <px = o, après les différentia-tions.

Or, en retranchant les termes qui s’évanouissent parcette valeur de x, on a

dpx = dtpxd‘<px‘ = 1 . i[d<pxyd 5 <px*= 1 . 2.3.(<4px) 3d i px i = 1 . 2 . 3 . 4 • (dpx)*d i px s = t . 2. 3 .4 .5 .{dpxfetc. = etc.

et, en général,

dppxP- — iH-'i' .(dtpx)P;

le dénominateur de l’expression (l) est donc la mêmechose que

(l).(l.2).(l.2.3).(l.2.3.4)-(l-2.3.4'--f*).(<fyxJ , + ’ + *..- + j*

= (l.t 2 l 1 .l*l , .l 4 l 1 .l 5 l , ...l 1

et cette expression elle-même se réduit à

_ ty[d r <px. d’tpx’. d^px*.. .di 1 -—’pxp—>. dr Far]

** ~ Mf*+' l

Nous avonc donc pour les coefficiens particuliers A c ,Ai , A,, etc. , la suite de valeurs (m)

A 0 = Fi

Ai _ Vjtâx] dFx

1 1 . d<px d <px

_ ïtf{cl'<px . rî'F.z]

’ I ,(l.2).(dpX) 3

_\ÿ[d , px.d’px’.d :s Fx]

3 i.(i.2).(i.2.3j .(dpxf

_^ [d l px . d’tpx ’. d 3 (px r 3 . d 4 Far]

* I.(l.2).(l.2.3j.(l.2.4).(^<px) ,ü

etc.= etc.

dans lesquelles il faut faire yx= 0 après les différentia-tions, et comme on a d m px n =0 , toutes les fois que nest plus grand que m , on retranchera , en formant lesfonctions , tous les produits dans lesquels la permu-tation des exposans des différentielles amènera de tel-les quantités.

i5. Le 3 expressions (m) et particulièrement l’expres-sion générale (/) présentent la loi de la série primi-tive (A), loi qui n’était point connue avant M. Wronski,car toutes les formules qu’on avait trouvées jusqu’àlui pour les coefficiens A 0 , A,, A t , etc , ne faisaientqu’indiquer une suite d’opérations propres à arriver àla détermination de ces coefficiens , mais ne donnaientpas les derniers termes mêmes ou les élémens dont secompose cette détermination, comme le font les expres-sions (t?i) , après qu’elles sont développées suivant leprocédé d’exclusion donné par ce géomètre. Par exem-ple , les coefficiens de Paoli que nous avons fait con-naître , Différence , 4 2 > expriment uniquement lesystème des différentiations successives qu’il faut faire