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subir aux fonctions Fx et <px, sans indiquer en aucunemanière la loi qui régit les élémens de ces coefficiens.ioutes les autres expressions de ces mêmes coefficiens,obtenues par Euler , Burman , Arbogast et Kramp, neprésentent encore que leur génération relative et nonleur génération absolue donnée seulement par les for-mules précédentes.
iG. En faisant de même f = dx , dans les expres-sions médiates (g) elles deviennent («)
A„ = Fi
A, = -=—dFxd<px
A,
1
1 a i 1 .(dtpxf
d'Fx —A ,<7 <px
A * = 73 —^ 7 ^ [ d 3 Fx-A,d 3 4 >x—A,d 3 <px'
. _ 1 rMTa
^ ipU ' ~dâ i*"'
Prenant une nouvelle quantité arbitraire z , et faisanta — x(i —2) , on aura Fa — F(x—xz), et si l’on dési-gne , comme Lagrange , par des accens , etc. ,
les dérivées différentielles de la fonction Fa , on ob-tiendra
•J'% w- 2
F* = F(x—xz) + — . F'(x— xz) + ~ F"(x— xz)
H-5- F" (x— xz) 4 - etc. etc.
1.2.3
formule de développement obtenue par Lagrange, danssa théorie des fonctions analytiques ; c’est la plus gé-nérale de toutes celles qui se trouvent dans cet ouvrage.
18. Eu faisant dans les expressions(o) et (p) a —zetx — z — i, d’où x =; z + i , on trouve
A*
1
i*U.(d<px)*
d* Fx — A ,d*ipx — A.c/^x»
F(a+ 0 =F*+
dFz
dz
d 1 Fzdz 1
j? d 3 Fz1.2 dz 3
1.2.3
-f- etc.
— A id 4 d>x 3 1
e tc.= etc.
formules très-simples à l’aide desquelles on peut calcu-ler, les uns au moyen des autres, les coefficiens de las erie primitive ( k ) et dont nous avons donné une autredéduction au n° 5 . Il faut toujours faire yx=o après lesdifférentiations.
17. Si dans la série générale (k) on prend simple-ment x — a pour la fonction arbitraire <px , a étantune quantité quelconque , cette série deviendra (o)
E* = A 0 -]- A,. (x—a)+ A»(x—a)’+ As(x—a) 3 -j-etc.
et comme alors a est la valeur de x qui rendx—a — o,st l’on observe que
d m {x — a) n = o
toutes les fois que n est plus grand que m, on trouvera
poui les coefficiens , en substituant a à x après les dif-férentiations (p ) }
c’est le théorème de Taylor.
19. Dans la loi de la série générale ( k ) il faut connaî-tre, pour obtenir les valeurs des coefficiens A 0 , A f ,A a , etc., la quantité x donnée par l’équation <px = o.M. Wronski fait disparaître cette difficulté en obtenantimmédiatement de sa loi suprême la détermination descoefficiens pour une valeur quelconque déterminée dela variable x. Nous ne pouvons donner ici que ses résul-tats.
Si l’on prend pour x une valeur arbitraire quelcon-que a et que l’on forme les quantités
S 0 = Fa
_ {JfFa_ dFa
1 dcjsa d<pa
_ _ ^[d'Ça.d’Fa]
~ nl>. i»|i(<fya)i+à
l ÿ[/l l (pa.d*(pa? .d 3 Fà]
A„ = Fa
A, =
dFa
lia
A.
J_ dFa1.2 ‘ da‘
k 1 d 3 Fa
1.2.3 da i
etc.= etc.
etc.= etc.
Les coefficiens de la série générale
Fx = Ao -f- Ai ,cf>x -|- A ftpx 1 -J- A 3 .^x® etc.
seront
Ao S„ — s,.<fa + s.-ipa 1 — Sr ^a 3 + etc.
Ai = Si — 23 , a Æ>a -]- 3 v 3 .i pa’— /j <pa 3 -|- etc.
A* s= s, — 323,(pa-j- G^r.pa’ —. 10 S 5 ,<pa 3 -f- etc.
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TOME II.