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11. D’après ce que nous avons dit ci-dessus sur l’in-variabilite des coefficiens de la série générale,
Fjc = A 0 -j- A, . <px -]- A a . çx' -f- k 3 px 3 + etc.
si 1 on se rappelle que les expressions de ces coefficienssont, d’après Paoli ('voy. Diff., t±i ),
A 0 =F,r, A,
dFx ^ 1 dk,
dtpx 1 * 2 dtpa'
A 3
1 dk,
3 ' dtpx
etc.
ou (<7')
^ _1 dFx
1 dtpx
I
1 d\
T^i 1
dtpx \
[dtpx\
1
~ fiji •
-r— .d\dpx \
[dtpx '
1
T 4 I » ’
, .d
dpx
P-
L dtpx
■ d [iix’ d \
m
= etc.
I
~ ïfMi’
dtfX [
....d
fë-tfa ]•■■■]
Ât'lO
ce qu’on a tenté depuis pour développer ces expres-sions imparfaites est resté bien loin de la loi [ni) , quidonne enfin la détermination des coefficiens de la série,moyennant les derniers termes ou les élémens mêmesqui entrent dans cette détermination.
Il est vrai, dit M. Wrornki, qu’il entre encore dansles expressions [m) les différentielles des puissances dela fonction tpx , savoir : les différentielles de la formed m <px n et non simplement les différentielles immédiatesdtpx , d’tfX , dPtfx , etc, constituant les véritables der-niers termes ou élémens dont il s’agit; mais cela n’estainsi que pour abréger ces expressions finales, car laloi qui donne les différentielles d m yx n , moyennant lesdifférentielles élémentaires dtpx, d’yx, etc. est connue.[Voy. Phil. de la lechnie , deuxième section , page 35 .)En effet, par unesimple application de la loi fondamen-tale du calcul différentiel (vo^.Diff., 27) , on obtient [s)
d m <fX n = i"‘|i
dpiyx.dp*tpx dp^tpxi/ul*. i?»!i . ipM '.
. dp n tpx |iP n U )
l’abréviation Agr. désignant l’agrégat des termes cor-respondans à toutes les valeurs entières des exposanspi,pi,p 3 , etc., données par l’équation indétermi-née ( t ),
m — P l + + f 3 4 - M--- + P n >
En comparant avec l’expression générale (l) on découvrele théorème suivant (r) :
l£f[d'tpx. d’tpx 1 . dïtpx's.. ..dp—'tpxv— 1 . dpFx)dtpx.d’tpx*.d' s <px' ; ’....dp— l tpxP —» .dpFx ’
qui va nous permettre d’attacher leur véritable signi-fication aux expressions trouvées jusqu’ici pour lescoefficiens de la série générale en question.
E’abord , il est évident que les expressions de Paoli,et généralement le premier membre de l’égalité (r), nefout qu’indiquer les moyens de déterminer les quanta-tes A, , A, , A3, etc. , tandis que le second membre decette égalité présente le résultat des différentiationssuccessives et donne immédiatement les derniers termesde la détermination des quantités A,, A, , A 3 , etc. Enun mot, le premier membre offre l’origine de la déter-mination des coefficiens et le second la Jin de cette dé-termination. Aussi M. Wronski donne-t-il le nomd 'expressions initiales aux expressions tf ), et celuià’expressions finales aux expressions [m). Ce sont cesexpressions finales qui présentent la première exten-sion réelle donnée a la science depuis Taylor, car sousla forme imparfaite ou inachevée (5') la formule deEaoli n’est qu’un corollaire de celle de Taylor, et tout
dans la solution de laquelle il suffit de ne prendre pources exposans p 1, pi, p 3 , etc., que de; nombres entierset positifs plus grands que zéro, afin de négliger immé-diatement les produits qui deviennent zéro par la valeur<px = o qu’il faut donner à fx après les différentiations,
23 . Nous devons indiquer, en passant, le procédé trèssimple de Hindenburg , pour résoudre en nombres en-tiers positifs plus grands que zéro l’équation indéter-minée ( l) ou pour décomposer un nombre m en nnombres plus petits.
On écrira l’unité n — 1 foi» de suite , et en dernierlieu le nombre m — n -f- 1 , ce qui forme la premièresolution. Parcourant ensuite les nombres qui formentcette combinaison, de même que ceux des combinai-sons suivantes, de la droite à. la gauche , on s’arrêteradans chacune à celui qui se trouve inférieur de deuxunités au moins au dernier nombre sur la droite ; onaugmentera d’une unité le nombre auquel on se sera ar-rêté; et conservant tous ceux qui se trouvent à sa gauche,on remplacera par ce même nombre , ainsi augmented’un , tous ceux qui sont à sa droite, excepté le dernierà la place duquel il faudra mettre chaque fois le com-plément des autres , c’est-à-dire, ce qu’il faut ajouter àleur somme, pour trouver le nombre m. En observantcette règle on passera avec la plus grande fai ilité d’unecombinaison à l’autre ■ la dernière sera celle à laquellela règle ne pourra plus être appliquée.