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Proposons-nous, par exemple, de partager le nom-bre io en cinq parties; en appliquant la règle, nousob-tiendrons les sept combinaisons suivantes :

«”. O h h O 6

2 e . I, I, I, 2 , 5

3 e .. • , i> •> 3 , 4

4 C . b b 2, 2, 4

5 e . 1 , 1 , 2 , 3, 3

6 e . 1 , 2 , a, 2 , 3

7 '. 2 , 2 , 2 , 2 , 2

Le même nombre 10 résultera de l’addition de sixautres des cinq manières qui suivent :

SE

et dans la formule ( s ) il faut donner aux exposans p 1 ,p2, p 3 , etc. , les valeurs qui satisfont à l’équation (t) enles permutant de toutes les manières possibles. Ainsi ,chacun des produits ci-dessus doit se trouver répété au-tant de fois que les exposans des différences admettentde permutations, c’est-à-dire que le premier doit êtremultiplié par 3 , le second par 6 , et le dernier par 1.(Voy. Permutation.) On aura donc

,61. j 3 d v x.d ? x .d 3 ? x Ç»l<?x.d'<tx.æ<fx

^ ' l 1 .1 . 1*1* ' I.l a l>.l 31 <

d'tfX . d’fx . cbyx

+

1 *1*. I»|I. I 2 I>

ou, après les réductions,

2 e ....... I, I, I, b 2 , 4

3 e . 1, 1, 1, 1, 3 , 3

4 e . 1, 1, h 2, a, 3

5 ". 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 2

24. D’après ce qui précède , s’il s’agissait d’obtenirl’expression de la différentielle d 6 fX^ en différentiellesprimitives de la fonction çx , qu’on doit égaler à zéroaprès les différentiations, on commencerait par décom-poser 6 en 3 parties , ce qui offrirait les trois combi-naisons entièrement différentes,

6 = 1 + x + 4,

G = 1 + 2 -j- 3 ,

6 = 2 2 + 2.

Puis, pour appliquer ces valeurs à la formule ( s ), on for-merait d’abord les produits

dyX. dyX. d'y Z

I . I. l 4 i‘ ’

difX. d'ifX . d 3 tfX1 . i a li. i31> ~’

d'ifX. d’tfX . d'tpx

1 »l». i*|i . 1 ’l»

Mais ces produits ne sont pas les seuls dont la réunionforme la différentielle demandée, caria première solu-tion 1 -)- 1 -j- 4 de l’équation indéterminée

6 = p\ -f- p2 -f- pZ

d e <f>x =go[d<px)*. d J ‘<px-\- 36 od<fX . dtp'x . d t 'f>x-\-Ç) 0 (d : ‘<px) 3 .

Pour d 5 yx 3 , on obtiendrait de la même manière ,d’abord

5 = 1 -}- 1 -f- 3

5 = 1 -f 2 + 2

combinaisons qui admettent chacune 3 permutations ;et ensuite

j \Zdyx .dyx.d\x , 3 dyx.dyx.d’tfx)

d 9 x — 1 J i‘ \ 777773Ü r r.i*i>.i a l» j

■= 60 (dtfx)*. d 3 tf>x -f- 90 dtfX. (d’yx)*.

25 . Parmi les géomètres qui se sont occupés du déve-loppement des fonctions en série , nous devons citerparticulièrement Euler , Burman, Arbogast et Kramp.On doit à Burman une génération relative très-remar-quable des coefficiens de Paoli que nous devons faireconnaître.

a étant la valeur de x qui rend yx = o, on a

jdFxi _ la:— a x/Fx)

I dtfX ) (*==„ ) I yX dx j (x—a)

etc., etc.

( dfX ’ L dyx\ j

rJA—' n V/ /Fj? ]

Lv yx y ' dx J

l’indice (x = à) indiquant qu’il faut faire x—a, après

admet trois permutations, savoir :

, + , + 4» ' + 4+>^4+i+i,