466. SI

Soient donc (Pl. 5^, fig. 8) un arcDL que hOus dé-signerons par b et un arc AL que nous désigneronspar a; il est facile de voir en tirant les lignes de lafigure, dans laquelle DL — LB , qu’on a

DQ = sin ( a-\-b ), BR = sin(a— b ),

CQ = cos ( a-\-b ), CR = cos (a — b)

et de plus

DO = sin b, LN = sin a , CO = cos b , CN = cos a.

Ceci posé, les triangles semblables CLN et COM don-nent

CL : CO : : LN : OM

d’où

LNXCO sin a . cos bOM ~ CL _ R

R étant le rayon CL du cercle. Les triangles sembla-bles CLN, DGO, donnent aussi

SI

Mais CM -f GO = CM + MR = CR et CM — GO= CM — QM = CQ, donc (c)

COS (« + b) =

. cos a . cos b -f- sin a . sin b

cos (a — b) = -g-

Ce sont ces expressions ( b ) et (c) des sinus et cosinusde la somme et de la différence de deux arcs, au moyendes sinus et cosinus de ces arcs qui forment les théo-rèmes fondamentaux dont les géomètres font découlertoute la théorie des sinus.

En prenant pour unité le rayon du cercle, ce quiu’ôte rien à la généralité des résultats, on a simple-ment (d) ,

sin (a±.b) = sin a . cos b ± cos a . sin b.cos ( a±b ) = cos a . cos b sin a . sin b.

8. L’expression (a) devient

CL : CN : : DO : GD

sin 2 ..z -f- cos 2 . x — i

d’où

CN X DO cos a. sin bGD== —CL- = R

dans le cas de R = i. Or, pour trouver les facteursdu premier degré du premier membre de cette égalité,si l’on pose l’équation

or, OM = GQ et OM + GD = GQ + GD = DQ ,donc (b)

. , , ,, sin a. cos b 4- cos a. sin b

sin (a -f- b) =-g-

De plus

OM — GD = GQ — GD = GQ — GP = PQ = BR,ainsi on a encore (i)

. , sin a. cos b —cos a. sin b

sin {a—b) ==-g-

Maintenant les triangles semblables CLN, COMdonnent

CL : CO : : CN : CM

d’où

, CN X GO cos a. cos bCM = — R

sin’x -|- cos 2 x = o ,

on trouvera

cos 2 x = — siu’x

cosx = ± y/[— sin’z] = ±: sinx. y/—i

«

ce qui donne les deux facteurs du premier degrécosx-(- sinx y/—i, cosx — sinxy/—i,

d’où

(cosx-j-sinxy/- 1 -1 ). (cosx—sinxy/— i) = sin 2 .x-j-cos*.x

et, par conséquent (e),

(cosx -f- sinxy/—i).(cosx—sinxy/—i) — i ,

expression d’une haute utilité quoiqu’elle soit compli-quée de la quantité dite imaginaire y/_ i.

9. Si l’on forme le produit de deux facteurs sembla-bles

et les triangles semblables CLN, DGO donnent

CL : LN : : DO : GO

d’où

LN X DO sin a. sin bCL RT

cos x -Jt sin x.y/—1, cosz -j- sin z. \/—1on trouve

(cosx-f-sinx. \/ —i).(cosz-|-sinz.y/—1)

= cosx. cosz -J- cosx.siuzy/—1

-f-cosz. sinx. y/—1 —sinx.sins

GO =