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facile de voir qu’elle croît, de 180° à 270° depuis O, jus-qu’au rayon, et que de 270° à 36 o° elle décroît depuisle rayon jusqu’à o. Les limites extrêmes sont donc

Sin 180 0 = 0, sin 270° = — R, sin 36 o = 0.

Si l’arc devient plus grand que la circonférence en-tière , par exemple, s’il devient BFAPIBD , son sinusDE redevient positif tant que cet arc ne dépasse pasune circonférence et demie, puis de nouveau négatifquand cet arc est compris entre une circonférence etdemie et deux circonférences. Il est facile de voir que,m étant un nombre quelconque et x un arc plus petitque 36 o°, on a généralement

sin (m . 36 o° -{- x) = sin x

3 . Mais en considérant comme négatifs les sinus quitombent au-dessous du diamètre AB on doit aussi con-sidérer comme négatifs les arcs qui appartiennent à lademi-circonférence APIB ; ainsi en remarquant que lesdeux arcs égaux et de signes contraires BD et BI ontdes sinus égaux et de signes contraires DE et El, onpourra conclure généralement que

sin (— x) = — sin x.

11 résulte de ces notions élémentaires que quel quesoit l’arc x son sinus peut toujours être exprimé par lesinus d’un arc plus petit que le quart de la circonfé-rence affecté d’un signe convenable. Nous reviendronsplus loin sur ces déterminations.

4 . Le sinus d’un arc B qui est le complément d’unautre arc A prend le nom de cosinus de l’arc A. Parexemple, l’arc DF (Fl. 57, fig. 7) étant le complé-ment de l’arc DB, son sinus DG est le cosinus del’arc DB. Eu désignant généralement sous le nom decomplément d’un arc A ce qui reste lorsqu’on retran-che cet arc d’un quart de la circonférence ou de 90° ,en a la relation

cos A = sin (90° — A)

dont on peut déduire toutes les expressions des cosi-nus sans avoir besoin de recourir aux constructionsgéométriques. Par exemple, faisant successivement

^ ~ °> 9 °°, 180°, 270°, 36 o° on obtient, d’après cequi précède,

cos 0 = sin ( 9 o»—o) = sin 90' = R

cos 90» = sin ( 9 o»- 90 ») — s in 0 =0

cos 180 0 = sin (90° i8o°) = sin (—90°) = —

cos 270° = sin (90»—270») = sin (—180°) = ocos 36 o° = sin (90°— 3 Go») = sin (—270») e= R

c’est-à-dire que depuis 0 jusqu’à 90° les cosinus déci’ois-

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sent du rayon à o, que de 90° à 180 ils croissent de oau rayon; qu’ils décroissent de nouveau de 180° à 270°depuis le rayon jusqu’à o, et qu’enfin de 270° à 36 o»ils croissent de 0 au rayon. De plus ils sont négatifsentre 90° et 270°.

Pour interpréter géométriquement ces résultats, ilsuffit de considérer comme positifs tous les cosinussitués à la droite du diamètre FH et comme négatifstous ceux situés à sa gauche. On voit alors qu’on agénéralement

cos (— x) -- cos x

5 . Le sinus et le cosinus d’un même arc sont liés en-tre eux par une relation très-simple qui permet tou-jours de considérer comme connue la grandeur del’une de ces lignes lorsqu’on connaît la grandeur del’autre. En effet dans le triangle rectangle CDB (Pl. 57,fig. 7) on a

CE 1 + DE 3 = CD 1

or, CE = GD = cosinus de l’arc DB, DE = siuus del’arc DB, et CD est le rayon du cercle. Désignant doncl’arc par x et le rayon par R, on obtient

(sin x) % -f- (cos x)* — R*

ce que l’on peut encore écrire de cette manière (a)sin 3 .a;-{- cos’.o; = R».

Si l’on se rappelle maintenant que les autres lignestrigonométriques telles que les tangentes , sécantes ,cotangentes et cosécanles (voy. ces mots) sont liéesaux sinus et cosinus par des relations également très-simples, on verra que la théorie des sinus comprendles théories de toutes ces lignes.

6. La différence EB entre le rayon CB et le cosinusGD = CE prend le nom de sinus verse de l’arc DB,comme on nomme aussi cosinus verse de ce même arcDB le sinus verse GF de son complément. On a ainsigénéralement

sin. verse A = R — cos Acos. verse A = R — sin A

relations qui font dépendre les valeurs des sinus etcosinus verses de celles des sinus et cosinus simples quel’on nomme aussi quelquefois sinus et cosinus droitspour les distinguer des premiers.

7. Avant d’exposer la théorie générale des sinus,nous allons encore déduire de la géométrie leurs théo-

R rômes fondamentaux ainsi que leurs expressions théo-riques primitives, cette déduction nous donnera ensuiteles moyens de reconnaître l’identité qui existe entreles lignes trigonométriques et certaines fonctions don-nées par la nature meme de la Science des nombres.

tome 11 .

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