\

-468 SI

cher s’il existe une fonction <p des quantités variablesx, , x % , x 3 , etc. , capable de donner l’égalité (i) ,

fX,. yx a . fX 3 . etc. = ? ( x , + + x 3 + etc...)

Nous avons vu (Philosophie, 6i) que cette question né-cessaire dépend de la fonction transcendante

' xy/—i

yx = a r

dans laquelle a est une quantité arbitraire, et qu’en dé-signant par Fx et fx deux autres fonctions de la mêmevariable x, dont les valeurs sont données par les expres-sions ( k ),

(L*)’.x> (L a)<.x« (Laf.xf r _

Fx = i----+ 77734 ,.,.34.5.6 +

. T fLalhx^ (La) 5 , x 5 (La)?. *7

/x-La.x-- ;r 4- 77-3475^“ i7iX4.5.6. 7 +etC -

SI

les distinguer des sinus hyperboliques dont nous parle-rons plus loin, en faisant observer que la variable xest alors le double du secteur compris entre le premieraxe de l’ellipse et le rayon vecteur mené de son centreà l’un des points de sa circonférence.

12. Les expressions (/) étant les expressions théori-ques primitives des sinus elliptiques renferment impli-citement , comme nous allons le voir, toutes les pro-priétés caractéristiques de ces fonctions.

En prenant les secondes puissances des deux mem-bres des égalités ( l ), on trouve

d’où

(F»).=

(/*)• - - I j «+“V-=7 a j

(Fx> + (/x)‘ = i ;

dans lesquelles La désigne le logarithme naturel de a ,on a pour la nature de la fonction q>x

<fx = Fx + fx . y/— 1,

et que de plus les expressions théoriques primitives deces fonctions Fx et fx impliquées dans la fonction q>qui satisfait à l’égalité hypothétique (i) sont (/)

I ),+aV-« +a -*V->+xv/-“i -æy/"!

Fx= Ï \ a ' * +a

fx =

2 V-

C’est la seconde de ces fonctions, fx , que nous dé-signerons généralement sous le nom de sinus , et c’estla première Fx que nous désignerons sous celui decosinus. On voit ici, comme pour les logarithmes, quela base a étant arbitraire on peut former une infinité desystèmes différens de sinus et de cosinus. Ce n’est qu’enprenant pour a la base des logarithmes naturels qu’onobtient le système usuel des sinus naturels ou du cercle,comme cela devient évident en comparant les expres-sions ( l) avec les expressions (A) d’Euler . Pour touteautre valeur de a, le système des sinus correspondansse rapporte à une ellipse dans laquelle p désignant lepremier axe et <7 le second, on a

c’est la propriété fondamentale, ou plutôt la liaisondu sinus et du cosinus d’une même quantité x.

Cette propriété jointe à la forme de la fonction <px

q>x = F x-j~fx . y/— 1peut faire supposer que la fonction <p ou

( y^y

est une racine imaginaire de l’unité dans le cas dex=iet généralement une puissance de l’unité pour touteautre valeur dex, car nous avons vu (Imaginaire, 4)que les racines imaginaires de l’unité sont delà forme

a -j- b y/—1 ,

les quantités a cl b donnant l’égalitéa’ + A 1 = 1 .

Pour nous assurer si effectivement estunera-

cinc déterminée de l’unité, ce que rendent probables les jj"circonstances que nous venons de signaler, désignonspar TT l’exposant, s’il existe, capable de donner (m)

( aV ~y

1

L a= V -<1

Nous nommerons donc généralement sinus elliptiquesles sinus donnés par les expressions générales ( l ), pour

et voyons si 7t peut admettre une valeur réelle.

Les racines quatrièmes des deux membres de l’éga-lité (ni) sont, en ne considérant que les racines imagi*naires,