SI
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a+\*V— y/—, , a~i 7r V / ~i___- v /_. I ,,
Or,
CTT _ l +V — 1
V /— 1 =
I-V/-I
et, par conséquent,
a ±i w v-i = ± i+v^l >
i-V- [
Prenant les logarithmes des deux membres de cettedernière égalité, on trouve
1 t-_ t (i+N/- 1
m étant un nombre entier quelconque positif, négatif ouzéro, et par suite
xy/—i xy/—i mir \/— ? (x-\-mr:) y/ — i
ci — a . d —— d *
Les fonctions Fx et fx ont donc pour expressions gé-nérales ,
Fx
= - j a +(- r + m ' r )V / —^'_j_ a — (x-fwnr)y/—•11
- 7v\/—i • La — L
j
(i-V-i j
— L(i —(— \/— 1 )—L(i— V 0
d’où l’on tire ( n ),
Appliquant aux logarithmes compris dans cetteexpression le développement connu ( voj. Loga-rithme , 22 ) , on obtient
etc.
L ('+\/-i)=+\/—:>-â(\/- I ) J + l (V-O 3 -
L(i—y/—1)=— V — I_ à W— l Y — 3(Y/’ I) 3 — etc.
ce qui donne en développant les puissances de y/—i,
«
*=!j ‘ + J _ i+ I -etc. 1
La { 3 “ 5 7 9 j
ou, définitivement,
7 T = j— . 3 , l 4 l 5926 .
L’exposant n est donc un nombre réel, et la quantité
V — 1
a est effectivement une racine déterminée del’unité.
Il résulte de cette circonstance que les sinus et co-sinus ont une génération périodique , car puisquenous avons
7 ry/—I« = I
nous avons aussi,
f x — _ L _ j a +(*+ mw ) V — i __ fl -“(*+ mw ) y/-i j
2 y/—1" ( (
d’où l’on voit que Fx et fx ont des valeurs périodiquescomprises entre les limites de
x = o et x = ir.
i 3 . Le nombre n qui entre d’une manière si impor-tante dans la théorie des sinus étant
7 ! = . 3 , 1415926 , etc.
sa valeur est liée à celle de la base a , et il est facile dereconnaître que lorsque cette base est celle des logarith-mes naturels, cas où La = 1, et
w = a . (3 , 1 4 15926, etc. ),
ce nombre jr exprime la circonférence du cercle dont lerayon est l’unité. Dans ce même cas, les sinus sont lessinus du cercle qu’on emploie en géométrie , les seulssinus elliptiques dont les géomètres se soient occupés.
14. M. Wronski est le premier qui ait considéré lathéorie des sinus sous le point de vue général que nousvenons d’exposer : on avait cru jusqu’ici que ces fonc-tions tiraient leur origine de la géométrie , mais il ré-sulte évidemment de ce qui précède que cette origineest purement algébrique, et que lors même que lessinus ne se retrouveraient pas dans la géométrie, ilsn’en existeraient pas moins dans l’algèbre dont ils for-ment , comme les puissances , les logarithmes , etc.,une partie essentielle entièrement indépendante detoute considération géométrique.
1 5 . Désignons, comme en premier lieu, par les abré-viations sinx et cosx, le sinus et le cosinus naturelsd’un nombre x, et quittons le point de vue généralpour ne nous occuper que de ces sinus, dont la base
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