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<1 hiver. Le contraire a lieu pour les habitans <le l’hé-misphère méridional.

SOLUTION.

C’est en mathématique la réponse aune question ou la quantité qui satisfait aux conditionsd’un problème. (Voy. Résolution.)

SOMMATION. (Alg.) Opération qui a pour but detrouver la somme d’une suite de termes dont on con-naît la loi. Elle est particulièrement l’objet d’une bran-che de calcul nommée calcul sommatoire.

Nous avons nommé, d’après M. Wronski, dans nosarticles Mathématiques et Philosophie, algorithme dela sommation le premier mode élémentaire de la gé-nération des quantités, dont la forme générale ouschématique est A -f- B = C.

SOMMATOIRE. Calcul sommatoire. {Alg.) Bran-che de l’algèbre qui a pour objet la sommation destermes des séries ou de toutes autres quantités liéespar une loi.

Les premiers essais de sommation des séries parais-sent dus à Leibnitz ; on les trouve dans un mémoireIntitulé : De proporlione circuli ad quadratum cir-curnscriptum in numeris rationalibus , et publiés dansles Actes de Leipsick pour 1682. Cet écrit, qui ren-ferme un grand nombre de propositions très-curieusese t alors tiès-inattendues, attira l’attention des géomè-tres sur ce genre de recherches dont l’importance se fitsentir de plus en plus, et bientôt le calcul sommatoirefut considéré comme une branche particulière de lascience des nombres. Il n’est en réalité qu’une applica-tion du calcul des différences. Nous allons exposer icises lois générales,

*• Soient A, B, C, D, etc., une suite de quantitésquelconques que nous pouvons toujours considérercomme les valeurs successives d’une fonction Fx, danslaquelle x reçoit successivement un même accroisse-ment f , c’est-à-dire, supposons qu’en posant Fx = A,nous ayons F;.r-t-f) = B , F(x+2f) = C , etc. D’aprèsla nature des différences ( voy. ce mot ) nous auronsdonc

AFx = A A = F(x-j-z) — Fx = B — A

AFx(-pf) = AB = F(x+2|) — F(x+?) = C — BAF(x+a|) = AC = F(*+3|) — F(*+a{) = D — Cetc. = etc.

En prenant 1 accroissement | négatif, nous auronsAA = A — BAB = B — CAC = C — D

et, par suite

A’A = aA — AB = A — 2B -|- GA’B = AB — AC = B - 2C -j- D

A 3 C = AC — AD = C - aD -f E

etc. = etc.

A 3 A = A 2 A — A’B = A — 3 B + 3 C — D

A 3 B = A’B - A»C = B — 3 C + 3 D — E

A 3 c =. A*c - A’D = C — 3 D + 3 E — F

etc. = etc.

Il est facile, en poursuivant ces constructions, de con-clure , par induction , qu’on a généralement (a)

4-A=A-»B+tfci’c

n(n —1)(«—2)1 . 2.3

D -j- etc.

Cette formule est identique avec celle que nous avonsdonnée (Diff., 14) pour l’expression de la différence del’ordre n d’une fonction quelconque fx.

2. La formule (a ), subsistant pour toutes les valeursde l’exposant n, devient, lorsqu’on fait n négatif

A-A = A-fnB+^±lic+ 5(îî±i|îLt£)D+elc.

série qui ne peut s’arrêter qu’autant que les termesA , B, C , etc. s’évanouissent quelque part eux-mêmes.

Or, la différence à exposant négatif A—" est la mêmechose que la somme de l’ordre n; ainsi l’expression pré-cédente peut encore s’écrire {b)

2«A = A + «B •

. üÇü+L). C + '-^±^+^D + etc.

1.2 ' 1 . 2.3 1

ce qui forme le théorème fondamental d’où dépendenttoutes les sommations d’un ordre quelconque.

Ainsi pour trouver la somme de la série qui formele second membre de l’expression [b ), il n’y a qu’àtrouver l’expression générale de la dilférence A"A etmettre dans cette expression — « à la place de -f- n.Supposons, par exemple, que les quantités A , B ,C , D, etc., soient les termes consécutifs de la progres-sion géométrique 1 , r , r’, r 3 , r 4 , elc. , on aura

A — 1

AA = 1 — r

A’A = 1 — 2r -j- r 1 = (1— r) %

A 3 A = 1 — 3 r -f- 3 r* — r 3 = (i—r)s

etc.

etc.

etc. = etc.

et, en général,

A A = (i— r ) 1