49â

SO

'Faisant n négatif, il vient donc

SO

bres figurés. Soit d’abord la série des nombres naturels

‘^rj-n^^nr + r» + ^ 4, 5, G, 7 , 8, cj , etc.

-j" etc. x désignant toujours Yindice des termes, le terme gé-néral est simplement x, et l’on a ,

C’est en effet ce que donne le binôme de Newton, dans

le cas de l’exposant négatif. ' S* = Sx -|- x -|- const.

3. En faisant n = i , les expressions précédentes

donnent Or, l’accroissement des différences de x étant l’unité ,

A — iA = 2 A = A-f-B-j-C+D-j-E-f- etc.

c’est-à-dire que A—*A est la somme de tous les termesproposés. On obtiendra donc cette somme en faisantn = — i dans l’expression de la différence A"A.

4- x désignant l’indice des termes d’une série , onnomme terme sommatoire une fonction de x , dans la-quelle , si on substitue successivement à la place de xles nombres 1 , 2 , 3, 4> etc., on aura la somme d’au-tant de termes que le nombre substitué aura d’unités.

Exprimons par A 0 , A., A a , A3, etc. , les termes suc-cessifs d’une série dont le terme général est Ax, et parSx le terme sommatoire de cette série. Sx doit être telqu’on ait

S„ = A„

S. = A 0 + A,

S, — A„ -f- Ai -j- A,etc. = etc.

Sx est égale à - x 2 — A x (Voy. Intégrai,, 3), d’où

x(ar4-i)

1 1

Sx = - X 2 -.

2 2

+ X =

il n’y a pas besoin d’ajouter de constante parce que Sxdoit être o lorsque x = o.

Ce terme sommatoire est en même temps ic termegénéral de la série des nombres triangulaires

1, 3 , 6 , 10, 1 5 , 20, 28 , 36 , etc.

car on sait que cette série est formée par les sommes suc-cessives des termes de la série des nombres naturels.Nous obtiendrons donc le terme sommatoire de la sériedes nombres triangulaires, en faisant dans ( c)

x(x+\)

1\ K -- 7

Sx = A 0 + A t A a -J- etc...-f-Ar

Ainsi, comme ^Intégral, 3)

D’après cette construction on a

Sx —1 -j- Ax = Sx

d’où ■ ,

Ax = Sx — Sx —1 — : ASx —1

l’accroissement d’où dépend la différence étant 1 .En prenant la somme ou l’intégrale de l’égalité

ASx —1 Ax ,

' on obtient

x(xA-i) 1 . . _

S —1—l—- = - 2 [.r’+.r] =

; X 3 - X 2 A -- X A~~ X 2 - X—ttX 2 - 7 ; x ,

; 2 ‘ a.3 2 2 3 a

nous aurons ici

s _ • s 1 j 1 *(«+0 _.îîn-I±3f(H zl)

* x ~77i x ~7^ x + 2 " 2.3

x{x-\-\){x-)-'ï)

2.3

Sx--i = 2Ax -f const.

et par suite (c)

Sx = 2Ax + Ax + const.

Ainsi, le terme sommatoire s’obtient en ajoutant à1 intégrale finie du terme général ce terme général lui-même.

5. Appliquons ce théorème à la sommation des nom-

il n’y a pas besoin d’ajouter de constante.

Ce terme sommatoire est aussi le terme général de I asérie des nombres pyramidaux ou de la série des nom-bres figurés de troisième ordre j ainsi, en opérant de lamême manière, nous trouverons pour le terme somma-toire de cette dernière série l’expression

x [x -\-1 )(xAri){x-\-1)

r. 3.4