SY

o IG

LX = S,,x — —S ,.x‘ +5- S 3 ..r 3 —- y-St.x* -}- etc.

•1 i 4

égalité qui devient, en différentiant ses deux membres,= S, — S...r-J- S 3 .x J —S4.X 3 -}- S5..Z 4 — etc.

A. CtX

Mais nous avons d’autre part, en remettant à la placede X le polynôme qu’il représente et en effectuant ladifférentiation ,

= A, -J- -f- 3 A j.x» -j- 4A4ar 3 -f- etc.

Il en résulte donc définitivement

A 1 -|-2A,,r -{-3A 3 .r J -)-4A4.r 3 -}-5A, i a: 4 -j-etc. _

1 -f-AjX-f-A.jr’-J-Aa^-l-A^+etc.

= S, — S,. x -J- S 3 . x 2 — S4. a: 3 -|- S 5 . a: 4 — etc.

Multipliant le second membre par le dénominateurdu premier et égalant ensuite les coefficiens des mêmespuissances de x, on obtient (a), '

S x = A,

S, = A, .Sx — 2A,

5 3 = A,.S 4 — A,.S, + 3 A 3

54 = Aj.Sî — A,,S 4 -f- A3.S, — 4A4etc. == etc.

Ces expressions importantes ont été données pour lapremière fois, sans démonstration , par Newton dansson Ariih. universelle.

Si nous remplaçons, dans la polynôme X , x par-,

1 x

et si nous égalons le résultat à zéro, nous aurons l’équa-tion

XH- + A ,xf*-‘ + A.xr-2 -f etc_-f- A^ = o

dont les racines seront — a , — b , — c, etc. Ainsi lesexpressions (a) fournissent les moyens d’obtenir succes-sivement la somme des racines , celle de leurs carrés ,celle de leurs cubes , etc. d’une équation dont les coef-ficiens sont connus.

Toutes les autres fonctions symétriques que l’on peutformer avec les j* quantités a , b , c , d , etc. , s’expri-ment sans difficulté à l’aide des sommes de puissancesS,, Sx, S3, etc. , d’où résulte le théorème que toutefonction symétrique rationnelle et entière des racinesd une équation peut, sans que l'on connaisse ces raci-nes , être évaluée au moyen des coefficiens de téqua-tion. Nous ne pouvons entrer dans les détails de cettethéorie dont Lagrange a fait la base d’une méthode

SY

pour obtenir l’expression théorique des racines deséquations du troisième et du quatrième degré. Cetteméthode, comme toutes celles connues jusqu’ici, échoueaux équations du cinquième degré.

En prenant à la place des quantités a, b, c, d, etc.,la suite des nombres naturels 0,1, 2,3, etc., jusqu’àni —1 , et en exprimant alors généralement Sf* parM(m)p et Ap par (mly.), on tire des expressions (a) lesrelations

(ml 1) = M(im),

i(mlî) = M(m)x .(mil) — M(/n),

3 (ml3) = M(m), .(mis) — . (mh) -f- M(m) s

dont nous avons fait usage ailleurs. (Voy. Facultés, 18.)

SYNCRONE ( de %/><»<>*, temps, et de «■«» ensemble.)On se sert de ce mot en mécanique pour désigner lesmouvemens qui s’exécutent en môme temps et dans unmôme intervalle de temps.

Jean Bcrnouillianommécoit/’&e synchrone unecourbetelle que plusieurs corps pesans égaux entre eux ,partant d’un même point et décrivant des courbes, arri-vent aux différons points de celle-ci dans le mêmetemps et dans le plus petit intervalle de temps possible.(Voy. les actes de Leipsik, 1697.)

SYCIIRONISME. Expression dont 011 se sert pourdésigner l’identité du temps pendant lequel plusieurschoses se font.

SYNODIQUE. ( Ast .) Nom qu’on donne aux révolu-tions des planètes considérées relativement à leur con-jonction avec le soleil; de sorte que le temps qui s’é-coule entre une conjonction et la suivante s’appelle ré-volution synodique. La révolution synodique de la lunese nomme particulièrement mois synodique.

Cette expression vient du mot synode , de 1 rvi'aèts ,assemblée, qu’on donnait aux conjonctions des astresdans l’ancienne astronomie.

SYNTHÈSE. Méthode de raisonnement qui procèdedu connu à l’incounu par voie de composition , ou enpartant des élémens pour arriver au composé. Elle estl’inverse de Vanalyse qui procèdepar voie de décompo-sition en redescendant du composé aux élémens. (Voy.Analyse.^

SYSTÈME. Dans le sens général, ce mot désigne unensemble de connaissances dont les diverses parties sont

liées entre elles et dépendent d’un seul principe. C estde cette manière qu’on dit un système de philosophie,un système d'astronomie, un système de physique, etc»