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Ax + BJ -f Cz -|- D = o, A, B, C, D étant des quan-tités constantes et x, y, z représentant les distances va-riables.

loutes les questions rclativi s au plan et à la ligne droitedaus 1 espace se résolvent par la combinaison des équa-tions du plan et de la dioite. {Foy. les Traites d’appl.de l’algèbre a la géométrie. )

7. Surfaces courbes. Les seules surfaces courbes quel’on considéré dans les éléuiens de géométrie sont lessurfaces latérales du cylindre et du cône droits et la sur-face de la sphère. {Foy. Cône, Cylindre et Sphère .)

Les surfaces courbes , en général , sont un des objetsde la géométrie dite analytique-, on les représente parl’équation qui exprime la relation générale des di-tancesd’un quelconque de leurs points à trois plans coordon-nés. Ainsi F désignant une fonction quelconque desvariables x, y, z, l’équation F [X,y, z) = o sera l’équa-tion d’une surface., savoir : l’équation d’un plan si elleest du premier degré , et l’équation d'une surface courbest elle passe le premier degré.

Les surfaces courbes se classent, comme les lignes,d’après le degré de leurs équations; ainsi ou dit unesurface du second degré, du troisième degré , etc., se-lon que l’équation qui la représente est du second, dutroisième , etc., degré. La surface delà sphère, celle ducylindre , du cône, les surfaces engendrées par la révo-lution d’une section conique sont des surfaces du se-cond degré. Foy. B lot. Essai de géométrie analytique ;Bourdon, Appl. de Talg. à la géométrie-, Boucliarlat,Théorie des courbes et des surfai es du second ordre ;Leroy,^n a /j/_ appl. à la géométrie des trois dimensions ;Monge, Mëm. de T Acad, savans étrangers, tome IX.Quant à la mesure des surfaces, Foy. Aire et Quadra-ture.

a, b,c, d indépendantes entre elles, leur sommea b -|- c -j- d , la somme de leurs puissancesa" -f- b n -f- c n -j- d-, celle de leurs produits deux àdeux ab -(- ac -j- ad -j- bc -f- bd -j -cd , etc. , etc. sontdes fondions symétriques de ces quatre quantités.

Toutes les fonctions symétriques des mômes quan-tités ont entre elles des relations déterminées qui per-mettent de les exprimer les unes au moyen des autres ,ce qui fournit plusieurs théorèmes très important pourla théorie des équations. Nous allons donner la déduc-tion de celui de ces théorèmes qu’on peut considérercomme le fondement de la théorie des fonctions symé-triques.

Soient ni quantités a , b , c, d , e , etc. ; désignonsd’une part par A, leur somme, par A, la somme de leursproduits deux h deux, par A 3 , ci lle de lems produitstrois à trois , etc. , et en général par A^ celle de leursproduits de p. à p ; désignons d'autre part par S, lasomme de ces mêmes quantités , par S a la somme deleurs secondes puissances , par S3, celle de leurs troi-sièmes pui-sances, etc., et en général par Sp telle deleurs puissances du degré p.

Ceci posé,xélant unequantité variable quelconque,sinous formons le pi oduii des p facteurs (1 -\-ax), (1 -f- bx),(i-|-cx) , etc. nous aurons évidemment (voy. Multi-plication, 16)

(i-j-ax).(i-|-Z>x).(i-|-cx).(i-}-ffa:)...etc. =

= i-fAiX-J-A a x* + A3x 3 -!- etc--f- A^xp-

Ainsi, désignant pour abréger le second membre decette égalité par X et prenant les logarithmes naturels,

LX = L(i+flx) + L(i+ôx) + L(i+cx) + etc.

Or, on a généralement, {voy. Logarithmes)

SYMÉTRIQUE, ( Gcom. ) Polyèdres symétriques.Nom donné par Legendre à deux polyèdres qui, avantnue base commune, sont construits semblablement l’unau dessus du plan de cette base, l’autre au-dessous, aveccette condition qt elcs sommets des angles solides homo-logues soient situés à égales distances du plan de fa b ise,sut une même droite perpendiculaire à ce plan. Cespolyèdres ont toutes leurs parties semblables euseus inverse comme un objet et son image vue dans unmiroir plan.

Deux polj èdtes symétriques sont égaux en volume.[Foy. Legendre. Géométrie.)

Fonction symétrique. On donne ce nom, en algèbre,a toute fonction de plusieurs quantités daus laquelleces quantités entrent d une manière tellement identi-que , qu’on peut changer leur ordre ou lis permuterl’une à la place de l’autre sans changer la valeur de lafouction. Par exemple , si l’on a les quatre quantités

L(i+z)

et, par conséquent ,

L(t-f-ux) =■ ax — - u’x 1 -|- ^ u 3 x 3 — ~ a i x i 4- etc.

‘2 Q ^

L(t-(-ôx) = bx — ^ b'x 1 -j- ^ ô 3 x 3 — £ Z> 4 x 4 -j- etc.Lf 1 -j-ex) = ex — ^ c’x 3 -f- I cKv* — -jj- c 4 x 4 -j- etc.L(i +dx) = dx— d>x* + '-d 3 x 3 - + etc.

etc. = etc.

La somme de ces logarithmes sera donc égale à

S,.x—* S .x’-f- -S a .x 3 — ~ S*.x 4 -j- U Ss.x 5 — etc.z j 4 j

cl i’on aura gcucraK meut