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TR

cos a —cos b . cos c

On obtiendrait évidemment, pour les deux autres an-gles B et C, les expressions semblables (q),

cos b —cos a.cosc

cos B =- : -.-

sina.sin c

TR

'i\. Pour appliquer les principes précédées aux trian-gles sphériques rectangles , nous supposerons que A estun angle droit, et par conséquent que a estl’hypothé-nuse : or, B et C représentant les deux autres anglesque l’on nomme obliques pour les distinguer de l’an-gle droit, quoiqu’ils puissent être droits eux-mêmes ,nous avons, d’après la dernière proposition,

cosC

cosc—cosa. cosisina.sinô

sin A : sin B : : sin a : sin bsin A : sinC : : sin a : sin c ;

Or, considérant comme inconnues trois des six quanti-tés qui entrent dans ces expressions , on a ainsi troiséquations qui suffisent dans tous les cas pour obtenirleur détermination complète.

20. Avant de passer aux applications , tirons de cesformules la relation qui existe entre les côtés et les an-gles opposés. Dans l’expression fondamentale ( voy.Sinus, 3o)

sin A = y/[i—cos’A]

si l’on substitue la valeur de cos’A prise dans l’expres-sion ( q), il vient

sin’ô.sin’c— (cos a—cos b. cos c)’"]sin*ô.sin*c J

Observant que sin J ô.sin J c = (i—cos’ô) (i —cos’c), etdéveloppant les produits, on obtient

sin A = ———— . \/[i — cos’a — cos'ô — cos*csin o.sin t r

+ acosa.cosô.cos c ]

ou, parce que A étant de go°, sin A = R,

R : sin B :: sin a : sinôR : sinC : : sin a : sin c 5

d’ou il suit que dans tout triangle sphérique rectangle,le rayon est au sinus d’un angle oblique comme le sinusde l’hypolhénuse est au sinus du côté opposé à cet angle.

Ainsi deux de ces trois choses, l’hypothénuse, un an-gle oblique et le côté qui lui est opposé, étant données,il suffira de résoudre cette proportion pour déterminerla troisième. On a donc pour les trois cas qui se présen-tent ici les expressions

sinB

R.sin b

sina

R.sin b

sin a

sin B

sina.sinB

sin b

_ - R

et, en divisant les deux membres par sin a ,

sinA 1 .. ,

—— = —--— r —.— t/fi — cos'a —cos’ô

sina sina.sin 0.sine

— cos ’c + 2 cosa, cosô. cos c ]

ou simplement

dans lesquelles B représente l’un quelconque des deuxangles obliques.

22. Lorsque A = 90°, on a cos A=o, et l’expres-sion ( q ) devient

cosa —cos b. cos csin b .sine

sina

d’où

cosa — cosô.cosc =* o , cosa = cosô.cos e.

en désignant par M le second membre.

Opérant de la même manière sur sin B et sin C, ontrouverait

En rétablissant le rayon, la dernière égalité devientR.cosa — cos b. cosc ,

d’où

sinB sinC

-r-r=M,

sin o sine

= M,

sinA sinB sinC

sina sinù sine

c’est à-dire, que les sinus des angles sont entre euxcomme les sinus des côtés opposés. Propriété analogueà celle des triangles rectiligues.

ce qui est la même chose que la proportionR : cos b ; ; cos c : cos a.

Ainsi, «dans tout triangle sphérique rectangle, le rayonest au cosinus d’un des côtés de l’angle droit, connuele cosinus de l’autre côté est au cosinus de i’hypothé-nuse. »

Deux des côtés d’un triangle sphérique rectangle