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TR
TR
étant donnés, on peut donc toujours déterminer letroisième.
a3. Si dans l’égalité cosa = cosi.cosc nous substi-tuons la valeur de cos c,
cosc = cosa.cosi -j- sin a.sini.cos C
tirée «le la troisième des expressions (q ), nous obtien-drons
cos a = cos a. cos’i -|- sin a. sin b. cos c. cos G
ce qui donne, en transposant cos a.cos'i ,
(i—cos 1 £)cosa = sina.sini.cos^.cosC
et, en divisant par sin a . sin b ,
(i—cos’i'l. cos a . _
--—-— = cos b . cos G
siu a.siu b
triangle sphérique rectangle étant données (nous uetenons pas compte de l’angle droit qui est toujours con-nu) , on pourra calculer les trois autres. Nous devonsfaire observer que lorsque la valeur de la quantité cher-chée est donnée par son sinus seulement , comme lemôme sinus correspond à deux angles supplémens l’uride l’autre , il faut pouvoir déterminer la nature de cetangle par les grandeurs des autres données, sans cela lechoix entre ses deux valeurs demeure entièrement in-certain. C’est ce que l’on nomme les cas ambigus oudouteux. Ils sont indiqués dans le tableau suivant quiprésente l’ensemble de la solution des triangles sphéri-ques rectangles.
TABLEAU
«
De tous les cas de solution d’un triangle sphériquerectangle
s-, , . - cosa
Uf, i—cos’i = sm 3 i et—— = cotasin a
nière égalité se réduit à
ainsi cette der-
L’hvpothénuse est représentée par a , les deux côtésobliques par b et c, et les deux angles obliques qui leursont respectivement opposés par B et C.
sin b .cota = cosi.cos C,
ce que l’on peut mettre sous la forme
sini cosC
cosi cota ’
d’où enfin,
tang b = tang a.cos C.
En rendant cette égalité homogène, elle devient
R. tang b = tang a.cos C ,
et donne la proportion
R : cosC :: tanga: tang b,
c’est-à-dire, « dans tout triangle sphérique rectanglele rayon est au cosinus d’un angle oblique comme latangente de l’hypothénuse est à la tangente du côtéadjacent à cet angle.
24 . On déduirait par des procédés semblables trois au-tres principes nécessaires pour la résolution des trianglessphériques et dont voici les énoncés :
i° Le sinus d’un angle oblique est au cosinus de l’au-tre angle oblique comme le rayon est au cosinus du côtéopposé à cet autre angle oblique.
u" Le rayon est à la tangente d’un angle obliquecomme le sinus du côté adjacent est à la tangente ducôté opposé.
3° La tangente d’un angle oblique est à la cotangentede l’autre angle oblique comme le rayon est au cosinusde l’hypothénuse.
A l’aide de ces trois principes et des trois précédées ,deux quelconques des cinq choses qui composent un
Données.
Cherchées.
Formules.
(
b.
I ..
. sini* = sina.sinB*
a, B
c.
2.
.tange = tanga, cos B
(
c.
3.
.cotC — cosa. tan gB
1
C.
4 .
. sine* = sina.sinC*
a, G |
b.
5 .
. tangi = tanga. cosC
(
B.
G.
.cotB = cosa.tangC
b . 7 .cosc =-
cosc
U. 8 .cosB = tang c.cota
. sine*
C. a.sinC* = —;—
a, b
c.
C.
B.
10
11
12
cosc =cosC =siuB* =
cosa
ccsi
tangi.cotasin b*sina
c , C
cas douteux.
b , B
cas douteux.
c, B
a .
i3...
sine
sinC
b.
14...
tange. cotC
B.
i 5 ...
..... sinB =
<osC
COSC
a .
l6. . *
sini
siuB
tangi .cotBcosB
cosc
c.
1 J * * * '
l8...
cosB.cotc
tangB.sinc
b.
1 «7 ’ * *
20. . .
c.
21 . . .
sinB.cosc