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* 2 - décrite du rayon AG*, et l’angle Oest à quatre angles

droits comme l’are DE est à la circonférence décritedu rayon OD; donc les arcs AB, DE, sont entre euxcomme les circonférences dont ils font partie: cescirconférences sont comme les rayons AC, DO; doncarc AB : arc DE : : AC : DO.

Par la même raison les secteurs ACB, DOE , sontcomme les cercles entiers, ceux-ci sont comme lesquarrés des rayons ; donc sect. ACB : sect. DOE : :

AC : DO.

PROPOSITION XII.

THEOREME.

L’aire du cercle est égale au produit de sa circon-férence par la moitié de son rayon.

Hg.167. Désignons par surf. CA la surface du cercle dontle rayon est GA ; je dis qu’on aura surf. GA =4 CAX cire. CA.

Car si ^CA x cire. CA n’est pas l’aire du cercle dontCA est le rayon, cette quantité sera la mesure d’uncercle plus grand ou plus petit. Supposons d’abordqu’elle est la mesure d’un cercle plus grand, et soit,s’il est possible, CA X cire. GA = surf. GB.

Au cercle dont le rayon est CA circonscrivez unpolygone régulier DEFG, etc. dont les côtés ne ren-* 10. contrent pas la circonférence qui a CB pour rayon * ;

la surface de ce polygone sera égale à son contour*7. DE H-EF 4 -FG-+-etc., multiplié par ^ AC*: mais lecontour du polygone est plus grand que la circon-férence inscrite, puisqu’il l’enveloppe de toutes parts ;donc la surface du polygone DEFG, etc. est plusgrande que j AC X cire. AC, qui est la mesure du cercledont CB est le rayon ; donc le polygone seroit plusgrand que le cercle. Or au contraire il est plus petit,