548 TRIGONOMÉTRIE.

xxv. Développons encore les valeurs de sin 5 a et cos 5 a,et pour cela prenons les formules

. , . sin 3 a cos a a 4 - cos 5 a sin 2 a

sm ( â a-f-2a) =---

R

, _ „ cos 3 a cos 2 a—sin 3 a sin 2 as

' cos ( 3 a-{- 2a) =-.

R

Si on y substitue les valeurs déjà trouvées art. 20 et 24,on aura, après les réductions,

. _ _ . 20 sin 3 a 16 sin 5 a

sm 5 a = 0 sm a -J-

R“ ^ R+

r 20 cos 3 a 16 cos 5 a

cos b a = 5 cos a - 1 -.

R a R*

D’où l’on voit que le problème de la quintiscclion de l’an-gle seroi^ du cinquième degré, et ainsi des autres divisionspar les nombres premiers 7, 11, i 3 , &c.

xxvi. Soit proposé pour exemple de trouver la valeurde sin i° approchée jusqu’à quinze décimales, ce qui peutêtre utile pour la construction des tables de sinus. L’ex-pression de sin 10°, trouvée n°. 22, étant réduite en déci-males dans la supposition de R = 1, donne sin io°=;0.i5643 4465o 4 o 25 i ; de là on tire, par la formule du n°. 21,sin 5 °=o.07845 90957 27845.

Soit maintenant sin 1 0 r-: x , il faudra, pour avoir a?>résoudre l’équation

i6x 5 — 2ox 3 -f- 5 x—o. 07845 90957 27845.

Si, pour abréger, on fait le second membre — c, on auraà-peu-près 5 a? — 20x 3 = c , et x—jc -fi 4 (f c) 3 . Or ÿc =0.01569 J8191 et 4 (|c) 3 r=o.ooooi 5466; donc on a, pourpremière approximation, a? = o.01670 7270, valeur quin’est en erreur que dans la huitième décimale. Pour enavoir une plus exacte, soit x=o.0i57O , on aura,

en substituant dans l’équation proposée, et négligeant i Qquarré et les autres puissances dey,

0.07845 goog 4 24g27-4-4.9862017 y=o.o7845gog57 27845;d’où l’on tire

0.00000 00173 118207, et a; ou sin i 0 zzo.01570 73173 118207.