556 TRIGONOMÉTRIE,

manière succincte, par le moyen des exponentielles. Pourcela, il faut se rappeler que e étant le nombre dont le loga-rithme hyperbolique est 1 , on a

z

' i d-1--

I 1.2

+

2,4

+ &C.

.2.3 1.2. 3.4

Si, dans cette formule , on fait z~x[/~ i, il en résultera

i» x \/—1

x 3 \/— 1

X 5 [/ -1

~&c.

i i.2 1.2.3 i.2. 3.4 i.2. 3 . 4.5

On auroit semblablement en changeant le signe de [/ — l,

x\/ —i x* ■ x 3 t/ —I X* x 5 l /—1

v -j-“-f~--- — — &c.

1 1. Z

De là on tiregxv'-' 4-

1.2.3 ' 1.2.3-4 i.i.3.4.5

x i . ad

p 1 /- 1 — i?—«V'—»

I .2

X 3

i.2.3.4

x 5

ZX-

■&c.-&c.

aj/—i ” 1.2.3 î.a.3,4.5

séries dont les seconds membres sont les valeurs trouvéespour cos x et sin x. Donc on a

gxy' —i — e -

e x v r — x y'-

cos XZ= -

— i

2 2y-1.

1 — e — :c V r —' sinar

d’où l’on tire =i/— ^ - ~\/~ itangJf»

e x * -f-e X V 1 r cos a?

formule dont on a fait usage, note iv.

Xicsmémesformulesdonnent e xyr ~ ‘=:cosar-f-1/— 1 sin J? >

ë~~ x V'~~ ^cosx—i/— i sin x - , donc, eu divisant l’un®

,_ x cos x -f~ v/— i sin

" c os x — V — 1 sin a:

î+l,/—i tangxi—l/— i. tangx

par l’autre, on aura e^V ‘

, ou en prenant les logarithmes de chaque

on

/, 4 - 1 / — i tang x\ . , .

membre, sxt/ — i — log. (----— ]• Mais

v ■- \i—pi — i tangas/

sait qae log. \ = 2 a 4" g z?, + g 2,5 + ® ce - i mettant

donc i/ — i taug x au lieu de 2 , et divisant de p ard’autre par 2 \/ — 1 , on aura

ar=tang.r—| tarig 3 x-f- ^ tang s x — itang 7 #

4-&c.