Entwickelung von sin (a + ß) , cos ( a + ß)u. s. w.

§• 20 . Es seyen im Endpuncte A des DurchmessersAE (Fig/ 3 ) die beiden Sehnen AB, AD zu beiden Seiten Fig.3.desselben unter den Winkeln a, ß und dann noch die Hilfs-linien BE, BD, DE gezogen; dadurch entsteht ein imKreise beschriebenes Viereck AB E D, in welchem bekannt-lich die Relation besteht:

AE.BD = BE.AD -f ED.AB.

Drückt man die Sehnen nach §. 14 aus, so erhält man(wegen B E = Chord 2a) :

B E = 2 sin a, DE = 2 sin ß,

BD = 2 sm(a-J-ß), AB = ‘isina — zcosa

(wegen a = 90° — a), AD = 2 sinß = 2 cos ß undAE = 2 (auch = 2 sm90°) , folglich, wenn man dieseWerthe in der vorigen Relation substituirt und gleich durch

2.2 = 4 abkürzt:

sin (a -(- ß) = sin a cos ß -f- sin ß cos a.

Schreibt man in dieser Formel — ß statt ß und be-rücksichtiget dabei die Relationen des j$. 11, so erhält man:

sin (a —• ß) = sin a cos ß —. sin ß cos a,so, dafs man, diese beiden Fälle zusammengezogen , dieFormel hat:

sin(a + ß) = iina cosß + sinß cos a.

§• 21 . Es ist ferner, wenn man diese letztere For-mel gleich anwendet (§. 5 )

cos (a + ß) = sin [90° — (a + ß)] = sin [(90 — a) If ß]

= sin (90 — a) cosß + Cos (90 — a) sinß

oder endlich (§. 5 oder 12) :

cos (a + ß) = cos a cos ß + sin a sin ß.

Anmerk. Um zu zeigen, dafs diese beiden Grundformcln(§§.20, 21) der Goniometrie nicht blofs für spitze Win-kel a, ß, sondern ganz Allgemein gelten, kann man auf