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folgende Art verfahren. Sey zuerst olinG Rücksicht auf dieGröfse von a , ß > 90 und < 180, also ß — 90 + b, wo6 <90; so ist sin (a -|- ß) — «'rc (90 -|-<* + &) = cos(a-J-ä)

— cos a cos b — sin a sin b, oder, wegen sin b = sin (ß — 90)

— — sin (90 — ß) =z — cos ß und cosb cos (ß — 90)= cos (90 — ß) = sin ß , wieder:

sin (a -f- ß) — sin ß cos a -)- sin ft. cos ß;und da diese Formel bereits für ß > 90 und < 180 gilt, sogilt auch die daraus abgeleitete für coj(a + ß) bei densel-ben Werthcn von ß. Setzt man daher neuerdings ß —90 -j-b,Wo b >90 und < 180 seyn soll; so wird

sin(a-j-ß) = cos (a -f- b) = cos a cosb — sin a sinb— cos a sin ß -J- sin a cos ß,

und es gilt sonach diese Formel (also auch die daraus abge-leitete für cos (ft-f-ß)) bereits für Wcrthe von ß> 180 und<270. Da sich diese Schlüsse soweit man will fortsetzenoder wiederholen lassen, so ist die allgem. Giltigkeit derFormel von si/t («-|-ß), mithin auch die der übrigen darausabgeleiteten, für jeden Werth von ß erwiesen, da man end-lich bei diesen Schlüssen « mit ß verwechseln kann, so darfauch a jeden beliebigen Werth besitzen.

§. 22 . Es ist ferner, diese eben entwickelten For-meln angewendet ($. 16),

tang (a + ß) ~oder, wenn man

sin (a + ß) sin a cos ß + sin ß cos a

c<w(a + ß) cos a cos ß + sin a sin ß’

Zähler und Nenner durch cos a cosß di-

vidirt, gehörig ahkürzt und überall statt ■— , lang setzt:

cos

lang (a £ ß )

tang a + tangß1 + tang a tang ß *

§. 28 . Setzt man in den Formeln der 20 — 22ß = a, so erhält man der Reihe nach: sin 2a =z'2sifia cos a,cos 2 a == cos a 2 — sin a z = 1 — 2 sin a % = 2 cos a z — 1 (jenachdem man nämlich nach §. 18 den Cosinus durch denSinus oder Sin. durch Cos. ausdrückt) und

tang 2«

2 tang a1 — tang a- ’