24

a -f- b sin A -(- sin B tang\(A -j- B)a — b ~~ sinA — sin B ~ tangi(A — B)

( 5 . 27 ), d. i.

a -[■ b : a — b = tang-(A-J-B) : tang\(A — B ),

welche Proportion einen zweiten Hauptsatz des Dreieckesausspricht.

44. So wie oben ($. 40 CD — b sin A = a sinBFig. 5 . war, so ist auch (§.5, Zus.) (Fig. 5) AD = b cos A und

BD = a cos B , folglich AD -J - BD, d. i.

c = a cos B -f- b cosA*).

Analog mit dieser Relation hat man nochb = a cos C -J- c cos A und a = b cos C -|- c cos B.

Multiplicirt man diese 3 Gleich, beziehungsweise mitc, b , a‘ y so erhält man:

c" = ac cos B -(- bc cos A,

b 2 = ab cos C -)- bc cosA,

<x 2 = ab cosC -}- ac cosB,

und wenn man von der Summe der beiden erstem dieserGleichungen die letztere abzieht:

6 2 -J- c z — a 1 =3 2 b c cos A,woraus endlich der dritte für das geradl. Dreieck wichtigeSatz folgt:

- 1 - ■ qT.

Cos A =--- oder a 2 = ö 2 4-c 2 —2 bc cosA,

2ilC

*) Dieselbe Relation findet man auch aus Fig. 5' mit Berück-sichtigung, dafs

B D = a cos a = — acosB und c — AB — AD — BD ist.