p

Bestimmung der aus den gleichen Factoren entspringendenPartialbrüche

Z

~N

g.

(a -— bx) m

+

ß,

(a — li.vyn— i

+ • • +

Bm

a — bx ’

schaffe die Nenner durch Multiplication mit N weg undordne nach a:; so erhält man wieder durch Gleichsetzungder gleichnamigen Coefficienten n Gleichungen, davon mzur Bestimmung von B t , B z , . . B m , und n — m zur Be-

P

Stimmung der Zähler A t , A z , . . A n - m für die aus - ent-

stehenden Partialbrüche dienen.

3 — 2r + 4-r 2

So findet man für die Bruchfunction ——--- - -

.r 4 X ‘ — x- — x

JSf = x (x — i)(o:-[-i) 2 j man setz e daher

sofort

- — d* -L. _A_ _j-_ l Ili .....

N x x —i (a -j- 1 )- 1 x 1

Aus dieser Gleichung folgt

a) Z = A l {x —i)(a-f-i)" 4" A.^x (x-^-iy 1 -j- ß] x (x —i)

+ B 2 x(x— i)(ar-}-i)

oder

3 — 2 / + 4a"- = — A l -J- (— A j -j- A., — B l - - B 2 ) x

+ (A i -J- 2 A z -{- B 1 ) X“ -}- (A l -(- An -f- B 2 ) x *,

und daraus:

A j — 3, — A j ”1“ A z — ßj — Bn = — 2 , A , -J- 2 A 2 -|- ßj —. 4,

Al + An + ß 2 = ° ,

so wie endlich aus diesen Gleichungen: A l =z.— 3, A 2 =zßj = f-, ß, Man hat daher

3 — ix + 4a"- _ —3 5 9 , 7

a: 4 -J-a: 3 — a: 1 ~ a: a: ‘ 4 (a:— i) 2 (a-+i)2 ‘ 4 (a:+0 *

§■ 253 Auch hier läfst sich das im $. a5o hinsicht-lich der bequemem Berechnung der Zähler Bemerkte be-nützen, wie wir sogleich ohne weitere Erklärung an demeben behandelten Beispiele nachweisen wollen.

Aus der obigen Gleich, a) folgt (wenn man nämlich den zuA 2 gehörigen Nenner gleich Null setzt) für x— o: 3 = — A itund daraus A , = — 3; für ar=i (aus x — i = o) : 5 = l\A 2daraus A 2 =j-, für x = —i [aus (a- -f -i )a == o]: 9 = 2 B,, dar-aus ß, = vj diese Wcrthe in «) substituirt und die Gleich, redu-