§. 257- Auf die nämliche Art erhält man aus der

P'unct.

A i + x -)- A z x-a, + x -j- a-i x- -(- a 4 x 3

eine recur. Reihe der

drit-

ten Ordnung; die Scala ist dreigliedrig, und das Gesetzder Bildung der Coefficienten fängt, wenn nicht etwa A 3 = oist, erst im 4 . Gliede der Reihe an.

3 ~ 2 x - 1~ .T*

So findet man für die Bruchfunction —.—-;, diese

1 -f- 2X— ix*

— ä -j— £ 1 X -J- £., X^ -j— . . — t/i X n -J- f/j-p 1 1 t 7;-p a X ra_ t"*

+ f «+3 xH -3 . . gesetzt (weil sich nämlich der Zähler bis x-erstreckt, und der Kenner, das fehlende mit gezählt, aus 4 Glie-dern besteht) und den Kenner weggeschafft: (,- 1-6 = — 2,

f 2 -J- 2f, = I , . . fn +3 + 26i-(- 2-—2f„=0, also f, =-8, t, = 17

und (als Gesetz der Bildung) f„^-3 = 2 (f n — f n -(-i) (die dreiglied-rige Belationsscala ist: —2 + 0 + 2), so , dafs also vom 4? an-gefangen, jeder folgende Coefficient gleich ist der zweifachen iDifferenz aus dem dritt- und nächst vorhergehenden Coefficien-ten. Man hat daher endlich :

3 — ax-f-xa1 -jp 2X-2X 3

3 — 8x

+

17x2 .—. 28 x 3 -{- 40X 4 - 46a; 3 •

V

§, 258 . Ohne diese Entwicklungen noch weiter fort-zusetzen , ist es ersichtlich, dafs man auf dieselbe Weiseaus der gebrochenen Function

A-x -J- . . -(- A n x n ‘) : (a, -|- a 2 x -|— . . -j- a n -\-i x n )die recurrirende Reihe der n. Ordnung entwickeln kann.

§- 259 - Ist umgekehrt die recur. Reihe t, -{- t 2 x+ t 3 x 2 nebst dem Gesetze ihrer Bildung, z. B.

, __ B C

t/z >

2$ C

oder der Relationsscala — — — gegeben ; soläfst sich dazu

die gebrochene oder erzeugende Function sehr leicht finden.Denn aus der gegebenen Relation folgt At n -\-* — Bt n -|-i+ c t n = o, und daraus unmittelbar (mit Rücksicht auf diedas Bildungsgesetz darstellende Relation und den Nennerder Bruchfunction in §. 256) der Nenner der gesuchtenFunct.: A — Ba-J-C®*, Setzt man daher, unter der ste-ten Voraussetzung, dafs die Funct. echt gebrochen s ey,