§, 256. Um die zunächst auf die vorige Form fol-gende ßruchfunction-— 1 x -auf die einfachste Art

D a i + a 2 x + «

in eine recur. Reihe aufzulösen, setze man, in Gemäfsheitder vorigen Anmerk., da der Zähler sich bis x erstrecktund der Nenner aus 3 Gliedern besteht:

-

äj -J 1 " #3 x x~ ci j

+ tnX* -f- f„+,* n +‘ + („+.3.'"+’ + •

so erhält man:

A + A z x = A t -j- a, + * + • •

~j- (tn+ä -f - tn-f-i tnO$) a.'” - !' 1 -}- . . ,

und daraus:

t, £Z, -J -- d z = A z , . . f„-|- s d\ “f" 1 /t+l d z “(“ ln d z - == O ,

also für das im 3. Glied anfangende Gesetz der Bildung :

t _ a z f °3 f

• /*+» — “*“* l« J

* «, 1 a 1

nach welchem, wenn aus der i. Gleich, t, bestimmt ist, t 2 ,t 3 , . . leicht gefunden werden. Da hier die Relationsscala

--- - zweigliederig ist, so heifst die entstehende

a, a i °

R. eine recurrirende der zweiten Ordnung.

So hat man für die ßruchfunction

—, diese

2 -j- X + X z

= “ t j X -J- , . -}- tn X n -{- X n ^~ l -f- X n ~\' K , *

gesetzt, wenn man mit dem Nenner multiplicirt;i — ‘2.x = i + <—»fi — i)x + . .

(— afn-|-2 -j~ fn-f-i -f* tn) X n ~\~* -f- . * 9

und daraus

— 2f, — 7 = — 2 , also t, —

-— 2f7x-f-3 -j- fn-{~i -j- tn rz: O , also fn-j -2 — -f" tn) ,

d. h. vom 3 . angefangen , ist jeder folgende Coefflcient gleichder halben Summe der beiden nächst vorhergehenden; mithinist endlich die Reihe selbst:

1 — ax , _

— a + x + x* = ~ T + T x + ix*+ Zf** + T7 X * + • •