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schreiben lassen. Aus diesen beiden Gleich, erhalt man ganzeinfach durch Elimination : a 2 =~-~a i , n 3 — — -j-a,, und da-mit aus den beiden ersten der vorigen Gleich.: ' A i -=-— -ja,und A 1 — ^a i —- a z = j a t + = a t ; folglich für die erzeu-

, _ . — ;a,4-a..r

gende Function:-^—1—'—5- 5 d. i.

— 2 + x -)- x 2 ’

im vorigen Paragrajihe. [I., 2.55.]

§. 261. Bilden die Coefficienten einer recur, Beiheeine arithmetische Beihe irgend einer Ordnung, so läfstsich durch eine einfache Transformation die erzeugendeFunction auf folgende Art finden.

Es sey 5 = A + t, x -(- t 2 a . 2 -(- . . -+ f« eine sol-che Beihe; man setze x =—, so wird (J. 255)

a = z ~ + a3 — * 4 + • • i

und nach $$. i i/j , i i5 etc.:

X Z = Z 2 2Z 3 -(- 3z 4 — 4z 5

X 3 = z 3 — 3z 4 -j- ( )Z S 1 oz 6 -)- . .,

•Z 4 = Z 4 - 4z 5 -f- 10Z Ö - 20Z - 7 -(- . . U. S. W.

Man erhält also mit diesenWerthen aus der gegebenen Beihe:S — A + t, z + (t 2 — ti)s 2 -|- (t 3 — z -j- ti) z 3

H“ ( f 4 — 3t 3 —f— 3f a — t,)z 4 -J- . .

oder ($. 226 ):

S = A -)- t, z A 1 t, z 2 -|- A 2 t, z 3 -f- A 3 f, z 4 -j- . . ,und da aus der oben angenommenen Belation z = —folgt, endlich:

+ A,t *(r=b) +••’

eine Beihe die immer abbricht, wenn, wie vorausgesetztwurde, t,, t z , t 3 , . . eine arithmetische Beihe bilden.

i. So ist z. B. für die recur. R. 3 -(- x + 2 z 2 + 3-r 3 -f- 4^4 -|—+ rt.r» + .. sofort A = 3, t,— i, A>f, = i, A 2 f, = o, A'+rro

x* 3 — 5x + 3-r 2

u. s. w., also 5=3 +

+

1 - X ' (1 - X) 2 1 - 2X-j-X 2

2 . Auf gleiche Weise findet man für die recur R. i+4ir+ i5x 2 + 4o.r 3 + 85a: 4 + i56.r 5 + . . wegen Azz.i, f, = 4.