Achtes Capitel.

Uber die Convergenz und Divergenz der unendli-chen Reiben.

§• 268 . Da die Anwendung der divergirenden Rei-hen in der Analysis nur zu leicht zu Irrthümern führen, undganz falsche Resultate veranlassen kann; so ist es von dergröfsten Wichtigkeit, ein allgemeines Kennzeichen für dieCon- und Divergenz der unendlichen Reihen aufzufinden.Da ferner nach 219 eine unendliche R. convergirt oderdivergirt, je nachdem ihre Summe eine bestimmte endlicheGröfse oder Unendlich ist, in welch letzterem Falle sie ei-gentlich keine Summe hat; so wäre die Frage ob, und un-ter welcher Redingung eine vorliegende Reihe convergire,äufserst leicht zu beantworten , wenn man jede Reihe sum-miren könnte (in welchem Falle aber auch die ganze Frageweit weniger wichtig wäre).

Um z. B. die Bedingungen anzugeben, unter welchen diegeometr. R. a + aq -f- aq- -J- . . -f- aq n convergirt, hat

aq n — a a — aqn

man bekanntlich Sn = ■- = --.

<7 ~ 1 1 — <7

Ist nun 1. q^> 1 , so wächst aqn mit n bis ins Unendliche,also wird für « = 00 auch S n — 00 •

Ist q=z 1 , so erscheint Sn unter der Form es ist aber

offenbar auch in diesem Falle die Summe S n = a 4 - a + a 4 - , .

%

dieser unendl. R. = 00 •

Ist endlich 3 . q <1 , so nimmt aqn unendlich ab, wenn nunendlich wächst, und es nähert sich dabei .Sn ohne Ende der

a ' a

Grenze -, oder es wird für n = CO sofort Sn = -.

1—<7 * — <7

Aus diesen Untersuchungen folgt also, dafs eine geometr.unendliche B. nur dann convergire, wenn der Quotient oderExponent derselben, ohne Rücksicht auf das Zeichen, kleinerals die Einheit ist, und dafs diese B. in allen übrigen Fällendivergire.

§ 269 . Da jedoch die Summirung nur in den we-nigsten Fällen gelingt, und häufig auch dann noch sehrschwierig ist; so mufs man für die Convergenz der Reihen