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2. Set7,t man, um die 11 . y ■ = x -| - 1 - —- 4.

1.2*1. 2 . 3 '

umzulichrcn, wieder x = f ,y -)- f 2 j2 _|_ ^ entwickelt

wie im vorigen Beispiele die Potenzen von x und substituirt dieentstellenden Werthe durch y ausgedrückt in die gegeb. Reihe;so erhalt man, wenn wieder nach y geordnet und der mehr er-wähnte Satz der unbest. Coeffic. angewendet wird, die Relationen :

fx==,; f2 +7~I t?==0 ’ alS0 = f3 + M 2 +^f 3 ,-°,

daraus t 3 —* 3 $ ^3 “t“ 7 *» ~b * f * ^2 ~b ‘—5 7 tj = o, daraus

2.0,4

— j u. s. w., demnach für die umgekehrte Reihe: .

x = y — i-r 1 + ir 3 — i.r 4 + • •

3 . Laufen die Exponenten von x in der gegebenen R. nachden ungeraden Zahlen fort, so beobachten die Exponenten vony in der umgekehrten R. wieder dasselbe Gesetz. Um daherx"> x>

die R. r = x - 4 --. . umzukehren, setze

J a.3 ^ 2 .3.4.5

man x — f, y -f- t 2 ys _J_ f 3 4. , , (nimmt man auch die Gliederpy~, qy*i • • mit in die Reihe auf, so findet man zuletzt p = o,q — o, . .) , entwickle damit x 3 , x$ , . . und substituire die iny ausgedrückten Werthe dieser ungeraden Potenzen in der ge-geb. R.; so erhält man , nachdem Alles nach y geordnet wor-den, aus den durch Vergleichung der gleichnamigen Coeffic.entstehenden Gleichungen: t, — 1 , f 2 = i, f 3 = xj, t 4 = T7T u.s. w., mithin für die umgekehrte R. selbst:

1 . r 5 1x = y + +

. 3 r 5 i. 3 . 5 r' T

+ ; , + •

2.3 * 2.4.5 1 2.4•b.74 - Eben so erhält man durch Umkehrung der Reihex 3 . 2x s . lyx 7 , 62a: 9

y = x + — + + 3 g 7 3

folgende sehr einfache Reihe:

+ r

3.5.7.9.3

+

X — y — -j y* -f jyS — fj 7 + • .

Anmerk. Sind allgemein m, m -f- in , 7»-|- 3 /t, . .

die Exponenten von x in der gegebenen Reihe, so sind) 1 + n 1 2/t 1 -|- 3 n

-j --, -- etc. die auf einander folgenden

m m m m 0

Exponenten der umgekehrten Reihe [I., 271].

Wäre die R. y zx A Bx . umzukehren , so müfste

man zuerst A transferiren, d. i. y — A = z gesetzt, die

Reihe s = Bx -{- Cx 1 .. umkehren.