Dabei ist der Coeflicient von er, nämlich A t =s b —£ b 24 - -b 3 —- 4 — . . + - b ' 1 , nach einem einfachen und be-

13 4 I — n

stimmten (von der Natur der Binomialcoeffic. abhängigen)Gesetze gebildet, während alle übrigen Coefficienten B 2 ,jB 3 , . . ganz unregelmäfsige Reihen bilden. — Man bat also,wegen b—a —i [aus i)]:

a) a x = i -j- Ai x -{- x"- -j- ß 3 er 3 . .,

und dabei

2) = ) 4 + • ••

§. 281 - Um ferner die noch als unbestimmt anzuse-henden Coeffic. B 3 . . durch dieselbe einfache ReiheA t auszudrücken, setze man in n.) 2x statt x; so erhält man,da die Coeffic. von x unabhängig sind:

a ,x = i -f- %A t x -|- 2- ß z x* -J- 2 3 ß 3 x 3 -)- . . .

Nun ist aber auch a** — ( a *) 1 = (i A t x -j- B z x z -f- . .)*;entwickelt man daher die 2. Potenz dieses Polynoms undsetzt diese der vorigen Entwicklung von a ? 1 gleich, so er-hält man die identische Gleichung :i -j- 2 A x x (2ß 2 -[- A])x z -)-..

+ (2ß„ -f- 2 A, Bn-i + 2 B 2 . .) x n -|- . .

= i -j- 2A t x -(- -|- .. -f- 2 n B n x n -|- . .,

und daraus (§. 108):

A

2 B 2 -)- A\ — 4ß 2 oder

A\

B 3 = —- u. s. w.;

2 . O

2ß 3 -)- 2A t ß z = 8ß 3 oder

* 2 B,i -f- 2A i B a -x + 2ß 2 ß„_ 3 • = 2" B n ,

und daraus, wenn man das hier herrschende Gesetz für dievorausgehenden Coeffic. B n —»,

B» =s

. gelten läfst:

A n ,

2 . 3 ,

wovon die Richtigkeit auch noch leicht durch höhere In-duction nachgewiesen werden kann [I., 289]. Man hat alsoendlich aus a):