Zweites Capitel.

Anwendung der Algebra auf die Auflösung einigergeometrischen Aufgaben.

§. 366 Aufgabe. In ein gegebenes Dreieck ABC(Fig. 18 ) ein Quadrat einzuschreiben. F>g. iB.

Auf lös. Nimmt man die Aufgabe als gelöst, undEFHG als das gesuchte Quadrat an, fällt aus C auf ABdas Perpendikel CD; so kommt es offenbar nur darauf an,den Punct I zu finden, durch welchen man zu AB die Pa-rallele EF ziehen mufs, damit EF=1D werde. Mansetze demnach Dl = EF — x, und suche zwischen x undden Linien des Dreieckes, die sonach bekannt sind, eineRelation zu erhalten. Dazu folgt aus den beiden ähnlichenDreiecken ABC und EFC, deren Grundlinien sich wieihre Höhen verhalten, AB : EF = CD : CI, oder, wennman AB = a und CD = h setzt, a : x = h : h — x,ci h

woraus man x =-, nämlich als eine 4* Proportional-

a-\- h

linie zu a -J- h, a und h erhält. Um diese gleich mit Be-nützung der Figur zu construiren, nehmen wir den Win-kel CDB, und schneiden, da schon DC = h ist, auf demverlängerten Schenkel DB, die Stücke DK = AB = a undKL = CD — h ab; so ist D L = a h. Verbindet manferner L mit C, und zieht zu dieser Verbindungslinie durchK die Parallele KI; so schneidet sich dadurch auf der Ge-raden CD der gesuchte Punct I ab. Denn es ist dieserConstruction zufolge, DL : DK — DC : DI oder

ah

a 4- h : a =s h : DI = ■——r = x.

1 a -]-«

§.367. Aufgabe. In der Seite AC des DreieckesACB (Fig. 19 ) einen Punct D von solcher Beschaffenheit f; k . 1 $zu finden, dafs die durch ihn zu AB gezogene ParalleleDE einer gegebenen Linie n gleich werde.

Au fl. Nimmt man wieder die Aufgabe als gelöst undD für den gesuchten Punct an, so hat man die Proportion