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A F : n es a : b , also AF =s - -. Es ist aber auch, wenn

man, da es nur darauf ankommt, den Punct F zu finden,BF=x setzt, aus dem rechtw. Dreieck ABF:

BF = \/AF l

so, dafs man für x zwei Werthe oder eine doppelteAuflösung der Aufgabe hat.

Um diese Werthe zu construiren, beschreibe man ausC mit dem Halbmesser CD = CD'=s n einen Kreisbogen,so ergeben sich auf der Geraden MN die Durchschnitts-puncte D , Zf; zieht man dann noch zu den Verbindungs-linien CD, CD' durch A die Parallelen AF und AF', sosind BF und BF' die beiden Werthe von x. Denn es ist,dieser Construction zufolge , BD = ^n 1 — BCiBD= BA : BF oder b : y/n 1 — b z = a : B F, also

+ x und B F'

An merk. Diese Construction wird unmöglich für CD<C.CB,weil dann kein Durchschnitt D oder D' entsteht. In diesemPalle sind aber auch, wegen n<.b, die Wurzeln oder Auf-lösungen von x imaginär. Für nxib fallen, wie es seynsoll, AF und AF' mit AB zusammen.

§.370. Aufgabe. Es sind zwei Punote A und Bi. (Fig. 21 ) gegeben; man suche in der Geraden AB oderihrer Verlängerung einen dritten Punct C von solcher Be-schaffenheit, dafs dessen Abstand vom Puncte A eine mitt-lere geom. Proportionale zwischen dessen Abstand vom 3.Puncte B und der Geraden AB bilde.

Aufl. Angenommen, der Punct C liege, da diefseben so gut seyn kann, von A gegen die rechte Seite, alsozwischen A und B, und sey A B — a und AC = x ; soist CB = a — x, mithin der Bedingung der Aufgabe ge-mäfs AB : AC = AC : CB oder a : x = x : a — x , und

daraus

Man hat daher für x