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Zweites C a p i t e I.

Gleichung des Kreises und Aufgaben über den-selben.

Gleichung des Kreises.

§• 894 Es seyen (Fig. 2 Cj) A B = p , B C = q dierechtw Coordinaten des Mittelpunctes C, CM=r der Halb-messer, und AP = x, PM == jr die Coordinaten eines be-liebigen Punctes M der Peripherie eines Kreises; so bat mannach der P’ormel 1 ), §. 38a: a ) (x— p) 2 —J— (jk — <7) 2 = r 2 ,eine Relation, welche den bekannten Eigenschaften desKreises zufolge für alle Puncte der Peripherie, aber auchnur für diese gilt; weil für jeden andern Punct (x— p) 2-f-O'" — q) 1 ^ r 2 ist, je nachdem derselbe aufser- oder in-nerhalb des Kreises liegt. — Da nun diese Gleich, a) allePuncte der Kreisperipherie charakterisirt und vollkommenfestsetzt; so ist sie die Gleichung des Kreises (hierwird unter der Benennung »Kreis« immer dessen Periphe-rie, nämlich die krumme Linie verstanden). Diese Glei-chung entwickelt, ist:

1) x 2 -(- y' 1 - — 2 p x — 2 qy ~I“ P z + q % — r 2 = o.

Anraerk. i. Die in den allgemeinen Gleich.'a) oder i) vor-kommenden constanten Gröfsen sind so lange unbestimmt,als sich diese nicht auf einen bestimmten, der GröfseundLage nach gegebenen Kreis beziehen: diefs beweist, dafszur vollkommenen Bestimmung eines Kreises drei Bedin-gungen nöthig sind. Weiter unten werden wir diese dreiGröfsen wirklich nach verschiedenen Bedingungen bestimmen.

Anmerk. 2 . Für ein schiefwinkeliges Coordinatensystem vomWinkel 9 erhält man als Gleich, des Kreises (§. 383, Anm. 2 ):(x — py- -f (y — <7 ) 2 + 2(x— p)(y — q) cos <? = r\

§• B95. Die Gleich. 1 ) des vorigen $. läfst sich mehroder weniger vereinfachen, nachdem man dem rechtw.Axensystcm in Bezug auf den Kreis verschiedene Lagengibt; die vorzüglichsten unter diesen sind folgende: