von denen jedoch die letztere, welche sofort ausdrückt,dafs (was sich von selbst versteht) der Berührungspunctx, j ein Punct des Kreises ist, nicht besonders aufgestellt,sondern immer stillschweigend verstanden wird: die Glei-chung 5) ist demnach die Gleichung der Tangente,wobei die Coordinaten des Berührungspunctes sind.

Zugleich nimmt diese Gleich. 5), mit Rücksicht auf jene 6 ),auch die merkwürdige Form an: 7 ) xx -j- yy = r 2 .

§. 427. Soll die Tangente durch einen auf ser-halb des Kreises liegenden Tunet x", y" geführt, also derBerührungspunct x y gefunden werden; so mufs man ausden [aus 6 ) und 7 ) folgenden] beiden Gleich. x^-j-y'* = r%x" x -j- y"y = r 2 , x und y bestimmen. Man erhält darausganz einfach:

'+ry'' \/ x""-\-y"~ — r 2x^+y^

und y z

r~y"^.rx"\/ x"--\-y" z —r 2

X"2-]-y"2

Um den Punct x',y‘ geometrisch' zu finden , dürfte man nurdiese eben gefundenen Ausdrücke construiren. Weit einfacherjedoch wird dieser Berührungspunct gefunden, wenn man vonden geometrischen Örtern Gebrauch macht. Die beiden Gleich,nämlich, aus welchen die vorigen Werthe von x‘ und y' be-stimmt wurden, sind 1) y' y“ + x' x“ = r 2 und 2 )y' 2 -{-x ' 2 = r 1 ;die erstere von der letztem abgezogen, gibt auch 3 ) y /2 — y'y“

-J- x‘- — x' x" — o , welche Gleich, eine der beiden vorigen,z. B. jene 1), ersetzen kann. So wie aber durch Verbindungder Gleich. 1) und 2) die vorigen Werthe x\ y‘ gefunden wur-den, so erhält man auch durch die Durchschnitte der beidenden Gleich. 1) und 2) entsprechenden Örter (§.409) die gesuch-ten Berührungspuncte x', y'. Nun ist der Ort der Gleich, 2)ein Kreis vom Halbmesser r, dessen Mittelpunct im Ursprungliegt, also der gegebene Kreis selbst. Der Ort der Gleich. 3 ),die wir statt jener 1) nehmen, und die sich auch unter der Form(y‘- — (x' — xar // ) 2 = i(j" 2 + ^' /2 ) darstellen läfst, ist(§. 394 ) ebenfalls ein Kreis, für welchen p — \x", q = ^y"und r‘ = 7 Vx''- -j-y" 2 ist.

Ist also A (Fig. 42) der gegebene Punct x", y ", C der Mit-rig. 4 *telpunct des gegebenen Kreises, und zieht man A C und die

Ordinate A Q; so ist A C = y x"‘ -j- y"- = 2 r‘ gleich demDurchmesser des zweiten Kreises. Wird ferner A C in C hal-