Integration der homogenen Differentialaus-drücke der ersten Ordnung.

g. 848 . Die in §. 663 entwickelte Relation q ), wel-che zwischen einer homogenen Function und den Differen-tialcoefücienten ihres vollständigen Differentials Statt hat,hictet ein äufserst einfaches Verfahren zur Integration ho-mogener DifFerentialausdrücke dar. Denn es sey Pdx Qdy-f- Rdz -j-... = du ein vollständiges Differential einer Func-tion u von den Variablen x, y, z, . . . und zugleich sobeschaffen, dafs P, Q, R, . . . h o m o g e n e Functionendieser Variablen von einem und demselben Grade m sind,wodurch also u eine homog. Funct. des (m-|-i) ten Gradeswird; so ist zufolge der erwähnten Relation:

Px - j- Qy -j- R z -j- . . . = (m -j- 1 ) u , alsoA) f(Pdx+Qdy + Rdz + ...) = + C.

Beispiele, i) Für das Integral fiydx -|~ xdj) ist P=zy,

<?=■'»=« und = — also die Bedingung

der Integrabilität vorhanden. Nach der vorigen Formel A) ist

y'.x “4— xy

demnach : f ( ydx -j- xdy) =; - — = xy -f- C.

t) Um das Differentiale

du = (3.r- -j- iay-)dx + {l^cixy -j- $by-) dyzu integriren, für welches P=Zx-iay- und Q == l^axy + 3 Jj 2homog. Functionen des m—i ten Grades sind, hat man wiedernach der genannten Formel:

(3a: 1 iay-)x -f- (4 axy -f- 3 by-) r

* 3 + ürwr/s + iys-j- C,

und es ist hier u eine homog. Function des dritten Grades.Anmerk. Für m = — i fuhrt die obige Formel A) auf dieidentische Gleich. o = o, und zeigt dann gewöhnlich an, dafsdas gesuchte Integral nicht algebraisch ist, so, dafsman dann wieder zur allgemeinen Integrationsmethode Zu-flucht nehmen mufs.