fibydy = by 2 ; also die gesuchte Integralglcicliung :

a x -j- b y 2 -f. l (x -f- V i -f. - r ') — C.

§. 855 . Ist aber zweitens die gegeb. Diffcrentialgleich,Mdx -j- A T dy == o homogen, sind nämlich M und N lio-mogeneFunctionenvon.rundjy und gesetzt vom 7z t0 "Grade;so sey der gesuchte integrirende Factor z vom m ton Grade.Bemerkt man nun, dafs in der vollständigen Differential-gleich. j) Mzdx Nzdy = du die Glieder Mz und N z,welche sofort vom Grade sind, durch das Diffe-

rentiiren von u eine Dimension verlieren (vergl. §. 663),so war u nothwendig vom Grade und es ist zu-

folge des in §. 663 entwickelten Satzes :

Mzx -{- Nzy = (rn -|- n -j- l) u.

Die vorige Gleichung i) durch diese getheilt, erhält man,gleich durch z abgekürzt:

Mdx -f- Ndy i da

M x Ny m + n -f- i u

Da nun aber der zweite Theil der Gleich, integrabl ist, somufs es auch der erste seyn, woraus sofort folgt, dafs hier

Z S= ~ Mx N ^ er S esuchte * nte S r - Factor ist.

Anmerlt. i. Hat man für die DifTerentialgleich. Mdx -(- Ndy — oeinen integrirenden Factor z gefunden, so können darausnoch unzählige andere abgeleitet werden. Denn niulliplicirtman die vollst. Gleich. Mz dx -j- Nz dy — du mit einerbeliebigen Function von u, so ist Mz <p (u) dx -|- Nz cp (u) dyz=. tp(u)du immer noch eine vollst. Differentialgleichung[weil y(u)du ein vollständ. Differential ist]. AllcFactorcnalso, die nur immer aus ;o(«) abgeleitet werden können,sind für die gegeb. Diffcrentialgleich. integrirende Factoren.

Anmerk. i. Die auf diese Art vervollständigten Differential-Mdx -f Ndy

glcichungen - S e,lören zum Grade -

und

M x + N r

können daher (§.843, Amn.) nicht nach §.843 integrirt, sondem müssen auf gewöhnliche Art behandelt wei den.

I! ei spiel. Für die homogene, unvollst. Differcntialgleich.y- dx -]- .r- dy — xy dy ~ o ist .1/ — y 2 , N—X- — xy; folg-