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«/= fPP'jr(MP 2 -f M'P'* + MP.M'P)

= +/ 2 + . r /)

= i^(3^ + 3rgA + ..).

Es ist also, wenn man gleich wieder durch h abkürzt:

V'

V

+ Ph + • •)

du

di + P A + • ’

*

und für h ~ o, wofür — — 1 wird: ir 1 , also

v dx J ’

d u = ity 1 dx , oder das Volumen des durch Umdrehungerzeugten Körpers: 2) u = xfy^dx.

Anmert, Kach der Methode des unendlich Kleinen entstehtdurch Umdrehung der Fläche ABMP der Körper u , alsodurch jene des unendlich schmalen Trapezes Pm, welches(§. 698, Anm.) als ein Rechteck behandelt werden darf, dasElement desselben du , und da dieses Rechteck einen Cylin-der beschreibt, dessen kreisförmige Easis den Halbmesser ybesitzt und Höhe = dx ist; so folgt wie vorhin du — ny 2 dx.

§•866* Beispiele hierüber.

1) Ist wieder die Umdreliungscurve die gemeine Para-bel, so ist wegen y 2 — p xi

u s= npfxdx = j-izpx 2 — -xy z ,

wozu keine Constante kommt, indem für ar=o auch it = o ist,Läfst man die Abscisse x bis h zunehmen und setzt die zugehö-rige Ordinate y = Vp h = r, so bildet h die Höhe und r denHalbmesser der kreisförmigen Easis des parabolischen Conoidcs,

und man hat für den Inhalt desselben: u = -r z ithi dieser ist

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also dem halben Cylinder gleich, welcher mit dem Conoid ei-nerlei Basis und Höhe besitzt.

2) Für das durch Umdrehung der Ellipse um die g r o f s eAxe entstehende Ellipsoid hat man :

u = n f— (a~ — x") dx = ^—2 (a 2 x — io: 3 ) 4- C.

J a- a?

Für den Inhalt der Zone, deren Oberfläche durch einen Bo-gen erzeugt wird, dessen l^djpuipiten die Abscissen a und ßentsprechen, mufs dieses Integral wieder von x=a bis x = ß