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■ sont le double des aires engendrées par le rayon vecteur, dans le mouvementde la planète, et projetées sur les trois plans coordonnés ; les constantes U,V, W sont le double des projections des aires décrites dans l’unité de temps.

Si nous multiplions la première par x, la deuxième par y, et la troisièmepar z, puis que nous les ajoutions membre à membre, nous aurons, en sup-primant le facteur commun dt,

( 4 )

Ui -h V/ -+- Wz = o,

équation indépendante du temps t et qui représente un plan passant parl’origine. D’où l’on conclut que l’orbite est une courbe plane dont le planpasse par le centre du Soleil.

Si donc l’on prend ce plan pour celui de x , y, les coordonnées z serontnulles, l’équation (2) se réduira à

et la dernière des équations ( 3 ) subsistera seule. Si donc, en représentant tou-jours parr le rayon vecteur, on prend pour axe fixe la ligne menée du centredu Soleil au nœud ascendant, et qu’on représente parp l’angle que fait le rayon vecteur avec cette droite, à une époquequelconque t ;

p x la valeur de p correspondante au périhélie;

p — p, sera l’anomalie vraie ou la longitude héliocentrique comptée dupérihélie; et l’on aura en coordonnées polaires,

(6)

l

ï&b

T'd p

dr 5 -f- r*dp* _2 K.

dt' r

D

pour l’équation des forces vives ,

(7) r'dp=:ndt

pour l’équation des aires, équation dans laquelle H représente le double del’aire décrite par le rayon vecteur dans l’unité de temps.

D’ailleurs l’équation polaire de l’orbite, supposée elliptique, sera

( 8 )

I ■+■ s cos (p — p t )

dans laquelle a est le demi-grand axe et s l’excentricité astronomique.

Déterminons maintenant les constantes D et II en fonction des éléments del’orbite. Pour cela, remarquons que pour p = p ti r est minimum, et enreprésentant cette valeur par r', on a