TRIGONOMÉTRIE. H

ment de 129 0 , qui est 5i*, et il vient sin x = — sin 5 i» {9).Onpeut même encore pousser la réduction plus loin, car sin5i 0 =rcos (90° — 5i°) = cos 39° ; donc sin.* = — cos 3 g°.

Si l’arc donné était x— — 1019°, le sinus serait de signe con-traire au précédent ( 11 ), et l’on aurait sin x = cos 39 °.

Sur les arcs qui répondent à ua sinus donné, ou à un cosinus, etc.

14 . Les développemcns dans lesquels on vient d’entrer donnentlieu à celte remarque importante, qu’il existe une infinité d’arcsqui ont les mêmes lignes trigonométriques. Supposons qu’une deces lignes soit donnée, et cherchons les différens arcs qui lui cor-respondent.

Soit donné sin x = a. Sur le rayon OB (fig. 1 ), perpendiculaireà OA, je porte <JQ = a , et par le point Q je mène MM' parallèleà OA. 11 est clair qu’on doit prendre pour valeur de x tous lesarcs terminés aux points M et M'. Je désigne l’arc AM par a, et180 0 par H ; AM' sera égal à II — «, et les arcs positifs terminésen M et M'seront compris dans les deux séries

a, 2 11 +a, 611+a, etc.

Il — a, 311 — a, 511 — a, 7 II — a, etC.

On a AB'A'M = ail — a et AB'A'M' = Il + a. Ajoutons à cesarcs un nombre quelconque de circonférences, puis prenons néga-tivement les arcs résultans, et on aura tous les arcs négatifs quirépondent au sinus donné : savoir,

— 2 11 +a, —4 H + a * — 611 +a, etc.

— Il — a, — 3 II — a, — 5II—a, etC.

Les arcs de ces quatre séries peuvent se renfermer dans deuxformules assez simples. Remarquez que dans deux de ces sériesTare a est ajouté à tous les multiples pairs de II, tant négatifs quepositifs, cl que, dans les deux autres, il est retranché des multi-ples impairs de 11. Désignons donc par k un nombre entier quel-conque, positif ou négatif, lequel peut même être égal à zéro, ettous les arcs cherchés pourront se représenter par les formules

[l] X = 2 A'II+a, X=(lk-{- i) II—a.